Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
1) U1, U2 J_ и3, 2) U1, и2±2и3—и2. (4.8)
Решетки Браве, соответствующие случаям (4.8) (рис. 11.12), называются простой моноклинной (Гм) и моноклинной с центрированными основаниями (?. Мы видим, что для типа центру нижнего основания соответствует вектор и3, а центру верхнего основания— вектор U3 +U1. Центры остальных четырех граней рассматриваемого параллелепипеда не совпадают с концами векторов трансляционной группы. 5 4]
ГРУППА ТРАНСЛЯЦИИ. СИНГОНИИ И РЕШЕТКИ БРАВЕ 53
Заметим, что у типа Гт шесть векторов ±alt ±а2, ±а3 инвариантны относительно преобразования группы C2h. У типа Ybm
А
7\ ^M
W
гт
N. I , . / .
/
S ч S Ї
/ \ / 1 I
\
/
* }
IV \
г
jO
Г 1O
V-
4
V
<ш
Уй
P
Гч
Г,
ГГ1,
7\
V.
/ /
. \
// // х' \ /
Гс
Рис. 11.13.
Чк
,V
•'/ж
гт
jC
инвариантными относительно этих преобразований являются векторы ±ах, ±аа и ±(2аа—а2).
Исследуя аналогично пять остальных сингоний, можно получить все 14 решеток Браве, изображенных на рис, 11.13. 53 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il
Ромбической или ортогональной сингонии с симметрией Dih соответствует четыре решетки Г., П, Fg и Г?. Их элементарными ячейками являются прямоугольные параллелепипеды с тремя неравными ребрами. Типы решеток Г0 и совершенно подобны решеткам Tm и Tbm. Решетки Го и Ц называются ромбической объемноцентрированной и ромбической гранецентрированной.
Тетрагональной сингонии с симметрией Dih соответствуют решетки и Ц. Они отличаются от ромбических решеток тем, что в их основаниях лежат не прямоугольники, а квадраты. Существуют два типа тетрагональных решеток: простая T17 и объемноцентрированная Tv9. Центрирование верхнего и нижнего оснований у ячейки Г9 не приводит к новому типу решетки, так как мы получим такую же простую тетрагональную структуру,
но со стороной квадрата, в ]/~2 раз меньшей.
Ромбоэдрической сингонии с симметрией D3d соответствуют одна решетка Браве с а13 = а23 = а13 = 60° и aj = a2 = a3 (обозна-
Я-—-R-----я чения см. на рис. 1.4). Эта решетка мо-
/ \ / \ / \ жет быть получена путем растяжения куба
3----——$ вдоль объемной диагонали. Она обозна-
\ / \ / \ Zj7 чена на рис. 11.13 как Trh.
V'—-V___V h Гексагональной сингонии с симметрией
Defl соответствует одна решетка Гл, в ко-
^---.д.---^ торой трансляционные векторы простой
/ \ / \ / \ решетки могут быть направлены по трем / ребрам шестигранной призмы, сходящим-
\ / \ / \ / ся в одной вершине.
* * Irfl для дальнейшего полезно указать на ~р~ j1 ^ особенности гексагональной и ромбоэдри-
ис' ' ' ческой решеток. В обеих решетках атомы
располагаются в плоскостях, перпендикулярных соответственно к осям 6-го и 3-го порядков. В обоих случаях атомы в плоскостях располагаются в вершинах равносторонних треугольников. Однако в то время, как в гексагональной решетке Гл атомы во всех плоскостях расположены друг над другом (поэтому гексагональная решетка обладает осью симметрии C6; рис. 11.14), в ромбоэдрической решетке Trh атомы соседнего нижнего слоя расположены под центрами треугольников верхнего слоя (х и о на рис. 11.14).
Наконец, как мы уже отметили, кубической сингонии с симметрией Oh соответствуют три решетки Браве: простая кубическая Гс, объемноцентрированная Г° и гранецентрированная Г? (рис. 11.13). В гл. I, § 1, п. 3 мы рассмотрели вопрос, как должны быть выбраны основные векторы в объемноцентрированном и гранецентрированном кубах, для того чтобы примитивные ячейки содержали один атом. §5]
КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
55
§ 5. Кристаллические классы. Пространственные группы
1. В предыдущем параграфе мы рассмотрели свойства симметрии простых решеток. Мы пришли к заключению, что существуют только семь кристаллических систем (сингоний), которым может удовлетворять симметрия простых решеток, и 14 типов простых решеток (решеток Браве). Однако все химические соединения, а также некоторые простые вещества кристаллизуются, образуя сложные решетки. В этом случае примитивная ячейка кристалла содержит больше одного атома, в результате чего симметрия кристалла может только понизиться. Простейший пример этого мы уже указывали выше. Плоская сложная решетка на рис. 1.2, b не имеет центра инварсии, которым обладает простая решетка, получающаяся при удалении атома, расположенного внутри ячейки.
Рассмотрим с этой точки зрения сложную решетку алмаза (Ge, Si), изображенную на рис. 1.12. Как известно, эта решетка может быть получена в результате смещения одной гранецент-рированной кубической решетки относительно другой вдоль объемной диагонали AB (рис. 1.12) на V4 ее длины. Кубическую ячейку алмаза можно представить себе состоящей из восьми малых кубов («кубиков»), пронумерованных на рис. 1.12: /,
II, . . ., VIII. При описанном выше смещении (на V4 AB) • -атомы 1', 2', 3' и 4' располагаются в центрах кубиков I,
III, VI, VIII. Выбирая примитивную ячейку так, как это показано на рис. 1.6,а, убедимся, что она содержит два атома.
