Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Покажам, что симметрия сложной решетки алмаза ниже симметрии простой решетки гранецентрированного куба. Если поместить начало координат в один из узлов решетки алмаза, то она не инвариантна относительно инверсии. Оси C1 гранецентрированного куба (рис. 11.10) превращаются в решетке алмаза в оси C2; в самом деле, при вращении вокруг вертикальной оси, проходящей через центр грани куба на угол л/2, атомы 1' и 2', а также 3' и 4' не самосовмещаются, что имеет место только при повороте на угол л. Оси C3, совпадающие с объемными диагоналями куба, являются и осями симметрии решетки алмаза; при вращении на угол 2л/3 вокруг диагонали AB происходят следующие совпадения атомов: 2'—*4', 3'—>2', 4'—>-3'. Наконец, плоскости отражения, проходящие через ось C2 и две оси C3 (рис. 11.8, б) являются плоскостями симметрии решетки алмаза. Если провести плоскость отражения через вершины куба ABCD, то атомы Г, 2' будут лежать в этой плоскости, а атомы 3', 4' будут расположены относительно Hqe симметрично, поэтому плоскость эта будет плоскостью симметрии алмазной решетки. Таким образом, решетка алмаза обладает симметрией точечной группы Td, являющейся подгруппой группы Oh. 56 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il
Очевидно, что во всех случаях точечная группа сложного кристалла, получающаяся в результате заполнения атомами примитивной ячейки простой решетки, будет подгруппой сингонии простой решетки (решетки Браве).
Полный набор точечных групп S кристаллов, называемых кристаллическими классами, совпадает поэтому с набором всех возможных подгрупп, содержащихся в семи сингониях простых решеток Браве.
Выпишем все возможные подгруппы, входящие в семь СИН-гоний:
Сингонии или Кристаллические классы
кристаллические системы (подгруппы сингоний)
1) триклинная S2 = Ci-: Е, С; = {?, J};
Итого: 32 кристаллических класса.
При определении кристаллических классов обычно оказывается, что каждый из них является подгруппой не одной сингонии, а нескольких. Во всех этих случаях кристаллический класс относят к системе (сингонии) наинизшей симметрии. Например, кристаллический класс C1 = {Е, У} является подгруппой всех сингоний, так как все простые решетки обладают центром инверсии У, номы относим Ci к триклинной системе, не обладающей никакими другими элементами симметрии. При определении, к примеру, классов ромбической сингонии D2h учитываем, что группа Dih состоит из восьми элементов: Е, C2, 2C2 (горизонтальные оси второго порядка), 2ov, ah, C2Oh = J; подгруппы Е, Ci, Clh = {Е, Oh) и C2ft должны быть отнесены к триклинной И моноклинной сингониям, поэтому к ромбической сингонии мы относим только кристаллические классы С№У Di и Dih.
Условие, согласно которому мы относим класс к сингонии наинизшей симметрии, находит себе оправдание в физических соображениях. Маловероятно, чтобы атомы кристалла, относящиеся к определенному кристаллическому классу, образовали решетку Браве более симметричную, чем это необходимо для осуществления этого класса (можно думать, что это связано с минимумом термодинамического потенциала кристалла). Если бы подобная маловероятная ситуация осуществилась, то кристалл находился бы в метастабйльном состоянии и малое возму-
4) тетрагональная Dih:
5) ромбоэдрическая D3d
6) гексагональная Dih.
7) кубическая Oh.
2) моноклинная Cih:
3) ромбическая Dih: §5]
КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
57
щение (например, нагревание) перевело бы его в равновесное состояние с менее симметричной решеткой Браве. Если, например, кристалл класса Dt, который может реализоваться в тетрагональной системе, кристаллизовался бы в более симметричной кубической системе, то уже незначительное воздействие было бы способно удлинить или укоротить одно из ребер кубической ячейки, превратив ее в прямую призму с квадратным основанием.
Из этого примера видно, что для осуществления принципа кристаллизации в решетке Браве наинизшей симметрии необходима возможность непрерывного перехода посредством бесконечно малой деформации от решетки Браве высшей симметрии к низшей.
Сравнивая между собой решетки Браве разной симметрии, можно убедиться в том, что имеется одно исключение, когда такое непрерывное превращение невозможно. Именно, гексагональная решетка никакой бесконечно малой деформацией не может быть переведена в ромбоэдрическую решетку с более низкой симметрией. В самом деле, атомы соседних слоев ромбоэдрической решетки сдвинуты друг относительно друга на конечную величину, в то время как в гексагональной решетке они расположены друг под другом (см. рис. 11.14). В этом смысле отнесение всех кристаллических классов к ромбоэдрической сингонии является условным, так как все они, являясь подгруппами группы Defl, могут осуществляться в гексагональной структуре.
Таким образом, мы пришли к заключению, что любой «ложный кристалл может быть описан определенной сингонией, решеткой Браве и кристаллическим классом.
Очевидно, что симметрия кристаллического класса, связанная с определенными поворотами, отражениями и инверсией, определяет физически эквивалентные направления в кристалле. Поскольку эта симметрия не связана с дискретными трансляциями, можно сказать, что она определяет макроскопическую симметрию анизотропного континуума. Такая симметрия определяет такие физические явления, как, например, распространение света в кристалле, его тепловое расширение и его механические свойства при действии внешних сил.
