Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Ромбоэдрическая или тригональная Тригональная C3 Se Civ D3 Dad 4 2 6 7 6 25
Гексагональная Гексагональная Ce с3h Ceh Cev Dah De Deh 6 1 2 4 4 6 4 27
Кубическая Простая кубическая, гранецентри рованная кубическая, объемноцентрированная кубическая T Th У Oh 5 7 6 8 10 36
Итого 14 32 230 230§5] КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
63
симморфную группу. Если еще учесть, что в некоторых случаях элементы симметрии кристаллического класса могут быть по-разному расположены относительно трансляционных векторов (например, двойные горизонтальные оси в классе D3 гексагональной структуры можно направить к вершинам шестиугольника и к серединам его сторон), то полное число симморфных групп возрастает до 73.
Винтовые оси, плоскости скольжения представляют широкие дополнительные возможности конструирования пространственных групп; число несимморфных групп оказывается равным 157, так что общее число пространственных групп равно 73 + 157 = = 230.
В табл. II.2 дано распределение всех пространственных групп по сингониям и кристаллическим классам.
Представим элемент пространственной группы (5.4) в виде произведения двух операторов
g = {R |а(Я) + а„} = {? \а„ ] {я |«(Д)} , (5.11)
где E—единичный элемент точечной группы & с элементами R. Хотя преобразования {R cc(?f)j являются элементами симметрии кристалла, они не образуют группу. В самом деле, их произведение может дать вектор решетки а, принадлежащей к группе трансляций &.
Например, применяя три раза преобразование, соответствующее винтовой оси на рис. 11.15, получим смещение вдоль оси на величину основного вектора а. Аналогично применяя
два раза оператор | R J j-, где R— отражение в плоскости PP'
(рис. 11.16), получим трансляцию на основной вектор At1.
В то же время совокупность всех ортогональных преобразований R (в том числе и тех, для которых a (R)^=O) образует точечную группу определяющую класс кристалла. В самом деле, из (5.8) видно, что если и R2 — ортогональные преобразования симметрии кристалла (с несобственными трансляциями, равными или не равными нулю), то R2R1 = R—тоже ортогональное преобразование симметрии кристалла (с a (R) = O или a (?)=^0).
Таким образом, для того чтобы определить класс кристалла, надо учесть все оси и плоскости симметрии, заменив при этом винтовые оси и плоскости скольжения на равнозначные простые оси и плоскости отражения.64 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il
§ 6. Неприводимые представления групп и теория характеров
1. Применение теории групп в физике и, в частности, к твердому телу, основано на теории неприводимых представлений и теории характеров1).
Рассмотрим некоторую группу О, состоящую из h элементов: A = E, В, С, ..., S, T, ... Для определенности представим себе, что это точечная группа симметрии, каждому элементу которой соответствует некоторое преобразование координат тела X, у, z. Возьмем некоторую произвольную однозначную функцию
(х, у, г) = IjJ1 (jc) и применим к ней оператор Pr (R—один из элементов группы), определенный следующим образом:
Pr$i(x, у, 2) = ^-^)=(1^(*). (6.1)
Здесь R~x — элемент, обратный R, R-1X—ортогональное преобразование координат, соответствующее элементу R'1. На первый взгляд было бы естественнее определить оператор Pr так:
= (6.1а)
Мы покажем, однако, что только при определении (6.1) операторы Pr образуют группу, изоморфную с группой О, т. е.
PSPR = Psr- (6-16)
В самом деле, из определения оператора Pr (6.1) следует PsPr % (*) = P&R (X) = Ф* (S-1X) = (R-1S-1X) =
= ? [(SR)-1X] =PS^1(X),
откуда прямо следует (6.16). При определении же (6.1а) мы получили бы PsPr = Prs, чт0 не всегда удобно2). Взяв в (6.1) вместо R все элементы группы G, мы, в общем случае, не получим h линейно независимых функций Фд(дг); число линейно независимых функций г будет, вообще говоря, меньше или равно h, т. е.
обозначим их через іМ*). і|з2 (х).....т|зг (jr), где (х) —
одна из этих функций (так как R может равняться Е). Посредством соответствующего линейного преобразования можно всегда функции (х) (І = 1,2, ..., г) сделать ортонормированными, что мы и будем предполагать в дальнейшем. Функции і|з,- (дг) (і=1,2, ..., г) называются: базисные функции, базисный вектор или просто базис. При другом выборе функции IIj1 (х), число базис-
1) Необходимые для понимания этого параграфа сведения о матрицах и их свойствах содержатся в Приложении 3.
2) Некоторые авторы, например в книге Solid State Theory./Р. Т. Landsberg.-= London, 1969, с. 157, предпочитают все-таки определение (6.1а).S 6] НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП 65
ных функций г, вообще говоря, меняется. Применение Ps к одной из базисных функций, например к Ipi (х), выражается через линейную суперпозицию базисных функций (это следует из (6.1), если применить к обеим частям равенства Ps и учесть, что Фд(х)—линейная суперпозиция функций ^1-(х), т.е.
Pst-=2 г (S)w^f (6.2)
fe=i
где Г (S)ki—элемент матрицы г-го ранга T(S)1).
Умножая обе части равенства (6.2) слева на ip*^ интегрируя по dx = dxdydz и используя ортонормированность базисных функций, получим