Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
В заключение заметим, что сурьмянистый индий (InSb), кристаллизующийся в алмазоподобной решетке, не обладает несобственными элементами симметрии, так как в этом случае О - атомы и •-атомы (рис. 1.12) разного сорта (In и Sb). Симметрия InSb есть точечная группа Td.
3. Все возможные пространственные группы кристаллов получаются при согласовании всех решеток Браве со всеми возможными осями вращательной симметрии, плоскостями отражения, винтовыми осями и плоскостями скольжения. Для того чтобы представить себе особенности такого согласования, введем оператор (элемент) пространственной группы {R\а (R) + ап), где R—элемент точечной группы кристаллического класса & (поворот, зеркальный поворот, отражение в плоскости, инверсия), a(R) — несобственная трансляция (обязательно рациональная часть вектора решетки), соответствующая элементу R, и ап —вектор решетки; действие этого оператора на радиус-вектор г определим равенством 2)
{ЯI«(/?) + «„} г = Rr + a(R) + an. (5.3)
Здесь R в правой части равенства — матрица ортогонального преобразования вращения, инверсии или отражения R. Для тех элементов R, для которых несобственная трансляция равна нулю: a(R) = 0. Для того чтобы оператор
g = {R\a(R) + an} (5.4)
являлся элементом пространственной группы кристалла, необходимо, чтобы множество (5.4) содержало единичный и обратные элементы и чтобы произведение двух элементов множества (5.4) принадлежало той же совокупности.
Очевидно, что единичный элемент множества (5.4) равен {2:|0}, где E—единичный элемент точечной группы в самом деле,
{Е10} г = Er = г. (5.5)
Обратный элемент (5.4) равен
= {R\а(R)Jrttn]-1 = {R-11-/?"1 a(R)-R-^a„ }, (5.6) в самом деле,
g-'gr = {R-11 - R-1OL(R)-R-^an} \Rr + a(R) +ап} =
= R-1Rr + R-^a(R) + R1Un-R-1OL(R)-R-^an =г =
= {?|0}г. (5.7)
1) Джонс Г. Теория зон Бриллюэна и электронных состояний в кристаллах. — M.: Мир. 1968, § 34.
2) Мы пользуемся распространенным обозначением оператора (элемента) пространственной группы, где сперва действует на г оператор R, стоящий слева от вертикальной черты, а затем оператор a(R) +ап (смещение), стоящий справа от черты. §5]
КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
61
Наконец, покажем, при каких условиях произведение двух элементов множества (5.4) принадлежит тому же множеству. Если R1 и R2—два элемента точечной группы кристалла &, то
{Я21Ct(R2) + ат\ [R110(R1) +a„\r =
= {Я2 J«(R2) + ат\ (R,r+O(R1) +ап} =
= R2RS+R2O(R1)+R2a„ +а(R2)+ат. (5.8)
Первое слагаемое правой части (5.8) имеет структуру первого слагаемого правой части (5.3), так как R2R1 = R = элементу точечной группы &. Жестким условием для элементов пространственной группы (5.4) является требование, чтобы остальные четыре слагаемых в (5.8) имели структуру (5.3), т. е.
R2O(R1) + R2Cin + O(Rt) +ат = о(R) + ар , (5.9)
где о(R) — несобственная трансляция, соответствующая элементу R = R2R1, a dp—какой-либо вектор решетки. Ясно, что (5.9) может быть выполнено только при определенной согласованности операций Ot(^1)1 несобственных трансляций O(R1), a(R2), O(R2R1) и основных векторов решетки Ci1, а2, а3. Тщательный анализ, проведенный в 1891 г., независимо, русским кристаллографом Е. С. Федоровым и немецким А. Шёнфлисом, показал, что всего имеется 230 пространственных групп1).
Пространственные группы, у которых a (R) = O для всех R, называются простыми или симморфными; если же хотя бы для одного R, a (R) ^ 0, группа называется несимморфной.
Для симморфных групп условие (5.9) упрощается, приобретая вид
R2a„ + am = ap. (5.10)
Если R2 — операция вращения вокруг оси, то требование (5.10) привело нас к возможности существования осей только 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков (§ 4, п. 1).
Можно получить представление о числе симморфных пространственных групп, если принять во внимание, что каждый кристаллический класс, комбинируя с возможной решеткой Браве, образует пространственную группу. Например, ромбический сингонии D2h соответствуют три класса (см. (5.1)) и четыре решетки Браве Г0, Г§, Г8, Г? (рис. 11.13), поэтому мы получим для этого случая по крайней мере двенадцать пространственных симморфных групп. Учитывая, что классы ромбоэдрической сингонии могут содержаться и в гексагональной, получим для всех 14 решеток Браве и 32 классов (5.1) 61 пространственную
1J Федоров Е. С. Симметрия и структура кристаллов.— M., 1949; Schonflies А. Theorie der Kristallstrukturen.— Berlin, 1923. 62 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il
Таблица II.2
Сингонии или кр исталлические системы Решетки Браве Точечные группы Число пространственных групп Полное число пространственных групп
Триклинная Триклинная E Ci 1 1 2
Моноклинная Простая моноклинная, двухгранецентриро-ванная моноклинная Clh C2 C^h 4 3 6 13
Ромбическая или ортогональная Простая ромбическая, двухгранецентриро-ванная ромбическая, центрированная ромбическая, объемноцентрированная ромбическая C2v D2 Dih 22 9 28 59
Тетрагональная или квадратная Простая тетрагональная, объемноцентрированная тетрагональная Ci Civ Cth Si Did Di Dih 6 12 6 2 12 10 20 68
