Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
повороту на угол п — = 2я или отсутствию поворота, поэтому C1 = E.
Зеркальное отражение в плоскости обозначается символом а; очевидно, о2 = E—единичному элементу. Вертикально располагают обычно ось наиболее высокой симметрии (с наибольшим п). Плоскость отражения, проходящую через такую верти-кальнуюось, обозначаютov (vertical), а плоскость отражения, перпендикулярную к такой оси, — через oh (horizontal).
Зеркально-поворотное преобразование (ось) Sn определяется последовательным применением двух операций Cn и oh:
P
-IiTCjn
ahCn = CnOfl = Sn.
(3.1)
я'
Рис. II. 2.
Тело, обладающее зеркально-поворотной симметрией Snt совпадает само с собой, если повернуть его вокруг оси симметрии на угол 2я/п и после этого отразить в плоскости, перпендикулярной к оси Cn (или выполнить эти операции в обратном порядке), см. рис. II.2.
Из (3.1) видно, что S1 = Oji. Важный частный случай:
OhC2 = C2Oh = S2 = J, (3.2)
где J — операция инверсии. При операции инверсии каждая точка тела P преобразуется в точку P', лежащую на прямой, проходящей через P и неподвижный центр О, так что OP = — OP'. При применении оператора инверсии J к координатам х, у, г они меняют свой знак, т. е. J {х, у, z} = {—х, —у, —г}, поэтому правая координатная система переходит в левую. Из (3.2) следует, что Joh = C2 и JC2 = Oh; таким образом, три элемента симметрии C2, Oh и J взаимно связаны, так что наличие двух из них автоматически приводит к наличию третьего.
2. Укажем ряд геометрических свойств, присущих поворотам вокруг оси и отражениям в плоскости, полезных при изучении точечных групп.
Из кинематики твердого тела хорошо известно, что два последовательных поворота вокруг пересекающихся осей эквива-
l) В самом деле, если оси вращения (или плоскости отражения) не имеют общей точки (линии пересечения), то последовательные операции вращений и отражений могут привести к поступательному движению тела, при котором оно совместиться с собой не может. §3]
ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ
41
лентны одному повороту вокруг оси, проходящей через ту же точку1). При этом результирующий поворот зависит от порядка, в котором производятся оба поворота (т. е. повороты на ко-конечные углы не коммутируют; поэтому их нельзя изображать векторами).
Последовательное отражение в двух пересекающихся друг с другом плоскостях эквивалентно повороту вокруг оси, совпадающей с прямой пересечения плоскостей, на угол, в два раза больший угла между плоскостями ф, т. е.
оХ = С(2ф). (3.3)
Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из рассмотрения рис. 11.3 (заметим, что изменение поряд-ка отражений меняет знак вращения). —__ '
Умножая (3.3) слева на Ov и учи- ~р» .
тывая, что ol = E, получим рис jj 3
о; = OvCi 2ф), (3.3а)
т. е. произведение поворота и отражения в плоскости, проходящей через ось поворота, эквивалентно отражению в другой плоскости, проходящей через ту же ось и образующую с первой плоскостью угол, равный половине угла поворота. Отсюда вытекает, что если через ось Cn проходит плоскость ov, то автоматически возникают еще п—1 плоскостей отражения, проходящих через ту же ось, так что углы между ними равны п/п. Аналогично можно показать 2), что наличие оси C2, перпендикулярной к оси Cn, автоматически приводит к появлению еще п—1 осей C2, перпендикулярных к Cn, так что углы между ними равны п/п.
Хотя результат двух последовательных преобразований зависит, вообще говоря, от их порядка, в следующих случаях операции коммутативны (переместительны): 1) два поворота вокруг одной и той же оси; 2) два поворота на угол я вокруг взаимно перпендикулярных осей; 3) два отражения во взаимно перпендикулярных плоскостях; 4) поворот и отражение в плоскости, перпендикулярной к оси поворота (см. (3.1)); 5) любой поворот (или отражение) и инверсия в точке, лежащей на оси вращения (или плоскости отражения).
В § 2 п. 4 мы уже упоминали на примере группы D3 о «подобии» элементов, принадлежащих к одному классу. Для
1J Зоммерфельд А. Механика,—M.: ИЛ, 1947, § 22.
2) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. /Теоретическая физика, т. 3.— Квантовая механика—3 изд.—M.: Наука, 1974, с. 419. 42 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il
обобщения этого докажем теорему: два поворота на одинаковый угол вокруг разных осей (или два отражения в разных плоскостях) принадлежат к одному классу точечной группы, если среди элементов последней есть операция, совмещающая разные оси поворота (или разные плоскости отражения).
Доказательство. На рис. II. 4 изображены оси Oa и ОЬ\ элемент точечной группы В переводит ось Oa в ось Ob; Cn и
B-1CnB имеет следующий геометрический смысл: ось Oa поворачивается до совпадения ее с осью Ob, вокруг последней производится поворот на угол 2п/п, после чего ось Ob поворачивается до совпадения ее с Oa. Очевидно, что результат есть вращение на угол 2л/л вокруг оси Oa, т. е.
Cn = B^CnB,
но это и означает, что Cn и Cn взаимно сопряженные элементы, т. е. принадлежат к одному классу.
Доказательство для отражений в двух разных плоскостях совершенно аналогично. Такие оси и плоскости, которые совмещаются одним из элементов группы, называются эквивалентными.
