Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Два поворота вокруг одной и той же оси на одинаковые углы, но в противоположных направлениях, т. е. элементы Cn и (Cn)-1 принадлежат к одному классу, если среди элементов группы имеется ось C2, перпендикулярная к оси поворота, или плоскость о0, проходящая через нее. В самом деле, в этом случае операции G2 и Ov меняют направление вращения на противоположное. В этом случае ось вращения Cn называется двухсторонней. Заметим, что отражение в плоскости Oh, перпендикулярной к оси Cn, не изменяет направление вращения и поэтому не делает ось двухсторонней.
Рассмотрим основные точечные группы; при этом мы не будем стремиться ни к полноте, ни к исчерпывающему изложе- §3]
ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ
43
нию вопроса. Символы точечных групп будем изображать жирными латинскими буквами.
I. Группы Cn. Эти группы состоят из одной оси симметрии п-го порядка, т. е. самосовпадение тела имеет место при вращении его вокруг оси на угол 2л/п. Группа циклическая,
состоящая из п элементов: Cn, Cn.....Cn = E. Каждый элемент
является классом. Группа C1 состоит из одного элемента C1 = E', ей соответствует отсутствие всякой симметрии. На рис. II. 5 изображены тела с симметрией C1, C2 и C31).
II. Группы Sn. Зеркально-поворотная ось Sn при нечетном п = 2р+\ сводится к оси симметрии С2р+1 и перпендикулярной к ней плоскости симметрии оЛ; в самом деле, Slpp^1 = Oh, так что в этом случае зеркально-поворотная ось соответствует виду симметрии, рассмотренному в III: группе Cnh.
При четном п = 2р группа S2p—циклическая, состоящая из 2р элементов: S2p, Sip, ...,Slpp = E, каждый из которых является отдельным классом. Группа S2 состоит из двух элементов: S2 = C2Oh = J — инверсии и Si = E—единичного элемента, она обозначается через Ci. На рис. II. 6 изображено тело, имеющее
С*в
симметрию Si. В самом деле, при вращении жесткого каркаса (изображенного жирными линиями) на угол 2я/4 = 90° и отражении в плоскости oh, проходящей через центр О, каркас совпадает со своим начальным положением (до вращения).
III. Группы Cnh. Эти группы получаются присоединением к оси Cn перпендикулярной к ней плоскости oh. Группа содержит 2п элементов: п поворотов вокруг оси Cn и п зеркальных
поворотов2): CnOh = Sn, k=l,2.....п (в том числе отражение
Cnah~ah)- Все элементы группы коммутативны, т. е. группа абелева; число классов равно числу элементов. Если п четно
1J Оси симметрии второго, третьего, четвертого и Ti д. порядков обозначаются через Ш и т. д.
2) Группа должна удовлетворять условию: произведение двух элементов группы должно давать тоже элемент группы. 43 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il
(п = 2р), то группа содержит центр симметрии (инверсию) (т. е. CZpOh = C2Oh = J). Простейшая группа Clh содержит два элемента E и oh; ее обозначают также через Cs. На рис. II. 6 изображено тело, обладающее симметрией Cih.
Так как при четном п = 2р группа C2pth содержит инверсию, то группу C2pth можно представить в виде прямого произведения C2pXCi, где Ci = {Е, J}.
IV, Группа Cnv. Эта группа получается, если к оси Cn присоединить проходящую через нее плоскость ov. Согласно доказанной выше теореме это автоматически приведет к появлению еще п—1 плоскостей, проходящих через ось Cn, так что углы между ними будут равны п/п. Таким образом, группа Cnv содержит 2п элементов: п вращений вокруг оси Cn и п отражений в плоскостях ov. Наличие плоскостей Ov делает ось Cn двухсторонней.
Распределение по классам различно для четных и нечетных п. Если п нечетно (п = 2р+1), то последовательные повороты совмещают все плоскости Ov друг с другом и, следовательно, п отражений принадлежат одному классу. Так как ось Cn двухсторонняя, то каждая пара вращений C2p+1 и (C2pw)-1 (k=l,2, ..., р) принадлежит одному классу, общее число которых равно р. Наконец, CigXl = E—единичный элемент—тоже отдельный класс. Таким образом, мы имеем всего р + 2 класса.
Если п четно (п = 2р), то последовательными поворотами можно совместить только чередующиеся через одну плоскости; в этом случае имеются две системы эквивалентных плоскостей и, следовательно, два класса. Что касается поворотов вокруг оси, то Clpp = E и Cgp=C2 образуют каждый сам по себе класс, а остальные повороты попарно сопряжены и дают еще р — 1 класс. Таким образом, полное число классов равно: 2 + 2 + + (р-1 ) = р + 3.
На рис. II. 6 изображено тело, обладающее симметрией Civ (две плоскости Ov проходят через ось симметрии и жирные диаметры; две другие плоскости делят пополам углы, образованные первыми плоскостями).
V. Группы Dn. Если к вертикальной оси симметрии Cn добавить перпендикулярную к ней горизонтальную ось C2, то это автоматически приведет к появлению еще п — 1 горизонтальных осей C2, так что углы между ними будут равны п/п (см. выше). Число элементов равно 2п (п поворотов вокруг Cn и п вращений вокруг осей C2). Ось Cn является двухсторонней. Распределение по классам совершенно аналогично группам Cnv. На рис. II. 7 изображено тело с симметрией Di (обратите внимание на разницу между Di и Cih); четыре оси C2 проходят через центр О. Заметим, что группа равностороннего треугольника (§ 1.2) есть группа D3. §3] ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ
