Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
2. Мы изучили связь, которая существует между типами простых решеток (Браве) и их точечной симметрией (сингония-ми). Мы исследовали симметрию направлений в кристаллах (классы), определяющую их макроскопические свойства.
Перейдем к изучению полной симметрии кристаллов, т. е. к преобразованиям, приводящим к совпадению всех атомов одного сорта. Совокупность таких преобразований над кристаллом образует группу, называемую пространственной группой. 58 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il
Эта симметрия кристалла, зависящая от расположения всех его атомов, которую естественно назвать микроскопической, определяет, например, рассеяние рентгеновских лучей кристаллом.
Всякий кристалл инвариантен (если отвлечься от наличия у него поверхности и дефектов) относительно трансляций с некоторыми основными векторами alt а2 и а3.
Группа трансляций :
аг=«„ =A^a1 +л2а2 +/I3O3, (5.2)
где пг, п2, п3— целые числа (включая нуль), есть инвариантная абелева подгруппа пространственной группы.
Наряду с трансляциями ап пространственная группа, в общем случае, включает в себя различные преобразования точечной симметрии: вращения вокруг простых и зеркально-поворотных осей 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков, отражения в плоскостях и инверсию (которая совпадает с зеркально-поворотной осью второго порядка S2). Однако наряду с такими преобразованиями
А
В ' А ' В
• •
Ol
• •
• •
/ •
Рис. 11.15.
Рис. 11.16.
точечной симметрии пространственная группа (т. е. кристалл) может обладать еще следующими элементами симметрии: винтовой осью и плоскостью скольжения.
Винтовой осью называется преобразование симметрии кристалла, состоящее из двух последовательных операций (взятых в произвольном порядке): вращения вокруг оси на угол 2п/п с последующим смещением вдоль оси на некоторую целую часть вектора решетки, называемым несобственной трансляцией.
На рис. 11.15 изображена винтовая ось 3-го порядка C3. Три атома разного сорта О, * расположены по окружности, перпендикулярной к оси, на равных расстояниях друг от друга. Собственной трансляции вдоль оси соответствует смещение на расстояние а. Однако самосовпадение имеет место и при повороте вокруг оси на угол а = 2я/3 = 120* с последующей несобственной трансляцией на величину а/3. Поскольку вращение и §5]
КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
59
поступательное движение соответствуют правому винту, ось C3 называется правовинтовой осью 3-го порядка.
Рассмотрим еще один элемент симметрии решетки, связанный с несобственной трансляцией, — плоскость скольжения. На рис. 11.16 изображена плоская (для наглядности) решетка, обладающая плоскостью скольжения PP'. При отражении в плоскости PP' решетка не совмещается сама с собой (слои А совпадают, слои В—нет). Если же после - отражения сместить решетку в направлении PP' на aj2, где U1—основной вектор в направлении PP', то решетка совпадет сама с собой (можно вначале сдвинуть решетку на aj2, а затем отразить ее в плоскости PP'). Можно показать, что в кристалле не могут существовать другие элементы симметрии, связанные с несобственной трансляцией, кроме двух рассмотренных выше.
Рассмотрим решетку алмаза (рис. 1.12) с точки зрения существования у нее несобственных элементов симметрии, т. е. элементов симметрии, связанных с несобственными трансляциями. Будем называть гранецентрированную кубическую решетку, состоящую из О-атомов, основной, а из атомов сдвинутой.
В п. 1 настоящего параграфа мы показали, что решетка алмаза инвариантна относительно преобразований точечной группы Td. Исследуем для нее операции JTd=TdJ (где J — инверсия). Так как операции группы Td оставляют решетку алмаза инвариантной, достаточно исследовать действие инверсии J. При применении инверсии к О-атомам основной решетки (выберем атом А основной решетки за начало координат) мы воспроизведем основную решетку, которая после несобственной трансляции на V4 AB совпадает со сдвинутой решеткой •-атомов. При применении же инверсии к • -атомам сдвинутой решетки (при том же начале координат в А) они попадут на «пустые места», но после несобственной трансляции V4 AB они совпадут с О-атомами основной решетки. Таким образом, операции JTd, сопровождаемые несобственной трансляцией V4 AB, также являются операциями симметрии решетки алмаза.
Читатель может быть смущен тем, что, как выше утверждалось, существуют только две несобственные операции симметрии кристалла — винтовая ось и плоскость скольжения, в то время как в алмазной решетке появляется, как будто бы новый несобственный элемент симметрии, связанный с инверсией.
Следует, однако, сказать, что выделение несобственных элементов симметрии в некотором отношении условно. Если бы мы поместили начало координат не в атоме А, а посредине между ним и атомом 1', то решетка алмаза была бы инвариантна относительно инверсии (не сопровождаемой несобственной 60 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il
трансляцией). Однако при этом появились бы в решетке алмаза плоскости скольжения1).
