Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ
1ГЛ. Il
Из сравнения первого звена с последним следует
Г+(Д) Г (R) = E, (6.13)
т.е. матрицы Г(R) унитарны.
Нетрудно показать (на этом мы останавливаться не будем), что если старые базисные функции подвергнуть произвольному линейному преобразованию
(6-14)
к
то новое («штрихованное») представление
Г' (R) = S-1T(R)S, (6.15)
т. е. эквивалентно старому.
Легко убедиться (посредством прямого испытания), что группа равностороннего треугольника D3 (§ 2, табл. 11.1) имеет три следующие (неэквивалентные) представления: 1) тривиальное единичное представление, когда всем элементам группы сопоставляется единица, группа D3 гомоморфна этому представлению размерности единица (таким представлением обладает любая группа); 2) представление размерности единица, в виде: T(E) = 1, Г (Л) = Г (В) = T (C) = -I, Г (Z?) = Г (F) = 1, что легко проверить, используя табл. 11.1; 3) изоморфное представление размерности два:
Г<?, = (; Ї) Г<Л) = С J), T(B) = I-^2l2 ™).<М«>
T(C)J ~U2 Г (D) = ( ~И2
1 ' \— /3/2 1/2/' 1 ' V—/3/2 —1/2/ *
T(F)J ~}12 ~VJ'2).
\/3/2 —1/2/ В самом деле, например,
rM>r<D)-(j их™
ГИГ «,,.(-'J ™)-(J
в соответствии с законом умножения матриц и табл. II.1. Заметим, что все матрицы (6.16) унитарны. Так как все матрицы представления (6.16) различны, то оно называется точным.
Выбрав какую-либо произвольную несингулярную матрицу второго ранга S и используя (6.9), мы могли бы матричное представление (6.16) написать в совершенно ином внешнем, но по существу эквивалентном виде. S 6]
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
69
Двумерное представление (6.16) может быть построено, если воспользоваться базисными функциями:
^= Yix exP [-T (*1+^)]- ^= I^fexP [-1^2+^2)] •
Для определения матриц Г(5)/А, входящих в (6.2), подвергнем координаты x, у преобразованиям группы D3 (§ 2, п. 2)при этом мы можем вращать треугольник, считая неподвижными оси координат x, у (так определены операции А, В, С, ...), или вращать координатную систему (в обратном направлении), считая неподвижным треугольник (так в нашем случае это удобнее). Из рис. II.1 следует, что операциям симметрии группы D3 соответствуют преобразования (6.2)
p4ip1: a-1x = x, p4ip2: a^y = -у
или
MSMi -?)_«:)• -I
PbIP1: = Рвур2: В~^у = Ц-х+^у
или
P
Uzy V/3/2 1/2/ U2/ V ' V/3/2 1/2J
Аналогично можно рассмотреть преобразования, соответствующие элементам группы С, D, F, т. е. построить все матрицы (6.16).
2. Представим себе, что нам даны два неэквивалентных представления, вообще говоря, разной размерности г и s:
Г,(A), T1(B), T1(C).....T1(P), ...,
Г,(Л), Г2(В), T2(C), ..., Г2(P), ...
Составим из матриц T1 г-го ранга и матриц Г2 s-ro ранга блочные или квазидиагональные матрицы (r + s)-ro ранга вида
О
Шв)
г (С) =(IAfi^gj) и т.д.,
(6.18)
где нули в правом верхнем углу заполняют прямоугольный блок шириной S столбцов и высотой г строк, а нули в левом нижнем углу — прямоугольный блок шириной г столбцов и высотой S строк. Покажем, что матрицы Г (6.18) тоже дают представление
1J Заметим, что множитель exp ?—-і- (х2+у2) j остается инва-
риантным при всех преобразованиях группы D3. 70 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il
группы, т.е. если BA = C, то
Г (5) Г (Л) = Г (BA) = T (С).
В самом деле, из формулы, определяющей матричные элементы матрицы, равной произведению двух других матриц, следует:
где сумма в правой части вычисляется по схеме [ ]/* = *(•••)
т. е. элементы і-й строки первой матрицы умножаются на элементы k-ro столбца второй матрицы. Мы видим, что до тех пор пока t меняется от 1 до г, k тоже меняется только от 1 до г (так как большим значениям k соответствуют нули). Таким образом, левый верхний блок T1 (В) умножается на левый верхний блок T1 (А). Аналогичная ситуация имеет место для нижних правых блоков; поэтому
г im г (А\-(r^ гі Wl 0 ^-Zr rI (О і 0 \-Г1Г\
T (В) T (А) - (...................If2-(B) гГ(1) J - Г"0.....Гг--VrV ) = г (с)>
Г2 (С) J
что и требовалось доказать.
Если мы подвергнем теперь матрицы Г в представлении (6.18) какому-либо преобразованию подобия (посредством какой-либо матрицы (r-j-s)-ro ранга), то матрицы Г потеряют свой квазидиагональный (блочный) вид, хотя по-прежнему будут давать представление группы. Подвергнув это эквивалентное представление обратному преобразованию подобия, мы приведем его опять к квазидиагональному (блочному) виду.
Таким образом, мы приходим к заключению, что возможны такие случаи, когда, подвергнув все матрицы представления преобразованию подобия, мы приведем их к квазидиагональному виду (с одинаковой структурой блоков). В этом случае представление называется приводимым.
Весьма важным является утверждение, что в некоторых случаях матрицы представления никаким преобразованием подобия не могут быть приведены к квазидиагональному виду. Такие представления называются неприводимыми.
Существование неприводимых представлений в форме матриц второго или более высокого ранга представляется весьма естественным для неабелевых групп, так как в этом случае некоммутативности умножения элементов группы может (но не должна обязательно) соответствовать некоммутативность умножения мат- S 6] НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП 71
