Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
S Ф? (X) Ps Ъ (X) dx= 2 Г (S)ki J ф? (X) IjJt (X) dx = J k= і J
— 2 г (S)ki 6lk = г (S)li. (6.3)
Таким образом, элементы матрицы Г (S) в (6.2) — матричные элементы оператора Ps, взятые на базисных функциях т|)(- (х). Если к обеим частям равенства (6.2) применить оператор Рт, то
PtPsо),. = pTS Oj,. = 2 Г (TS)liо|)г = 2 Г (S)ki PTqk =
I k
=2 г (S)ki 2 г (T)lk ^ = 2 2 г (T)lk г (S)ki щ =
к I Ik
= 2 [г (T) г (S)L,. (6.4)
где мы в конце воспользовались законом умножения матриц. Здесь первая строка получена от применения Pt к левой части (6.2), а вторая строка—к правой части (6.2). Сравнивая третье звено с последним, получим
T (TS)u = [Т (T)T (S)]lit (6.5)
или
Г (TS) = Г (T) Г (S). (6.5а)
Мы видим, что матрица, соответствующая произведению TS, равна произведению матриц для ThS. Матрицы T(S) в (6.2), где S—любой элемент группы, перемножающиеся по той же таблице умножения, что и элементы группы, называются представлением группы. Если все матрицы представления различны, то оно назы-
J) Такое сопряжение номера базисной функции с первым индексом матрицы в сумме (6.2) целесообразно в смысле сопоставления матриц элементам группы (см. ниже). 66 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il
вается точным, в противном случае оно называется неточным. В первом случае матричное представление образует группу, изоморфную исходной группе; во-втором — исходная группа гомоморфна матричному представлению.
Если воспользоваться определением оператора Pr (6.1а), то вместо (6.5а) получим
Г (TS) = T(S) Г (T), (6.56)
т. е. матрицы представлений перемножаются в порядке, обратном элементам группы (это связано с тем, что, как отмечено выше, в случае (6.1а) Pts = P'sP't)- Однако транспонированные матрицы представлений и при определении Pr (6.1а) перемножаются «правильно» согласно (6.5а). В самом деле, из (6.56) следует
Г (TS) = Г (S)Tr(T) == Г (T) Г (5), (6.5в)
где было использовано (П.3.30).
В следующем параграфе мы увидим, как естественно возникают представления и базисные функции при исследовании симметрии квантовомеханических систем.
Единичному элементу группы E соответствует единичная матрица
T(E)J ! 0 Hffii-J, (6.6)
\0 О ... 1/
где Sl7. = 1 при i = k и S1-Jf = O при і Ф k. В самом деле,
Г (E) T (S) = Г (S). (6.7)
Действительно,
[Г (E) T (S)]ik = IlT(E)ilT (S)lk = 2 S,,Г (S)lll = T (S)ik, і і
что совпадает с (6.7) (т. е. мы показали, что матричный элемент произведения матриц в левой части (6.7) равен соответствующему матричному элементу матрицы T(S)).
Если Q-1Q = E, т.е. Q-1—элемент, обратный Q, то
T(Q-I) = T(Q)-1, (6.8)
т. е. матрица обратного элемента есть обратная матрица прямого элемента. В самом деле, Г (Q-1) Г (Q) = Г(?); умножая обе части справа на обратную матрицу T(Q)"1, получим (6.8). Из (6.8) следует, что представление группы может осуществляться только такими матрицами, которые имеют обратные, т. е. несингулярными матрицами (определитель таких матриц не должен равняться нулю). S 6] НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП 67
Если все матрицы представления подвергнуть преобразованию подобия (см. Приложение 3, п. 4)
S-»r(i4)S = r(i4)', S-ir(?)S = r(?)',
S^r(C)S = T(C)', ..., (6.9)
где S—некоторая (несингулярная) матрица, то новые («штрихованные») матрицы тоже дают представления группы. В самом деле,
Г (B)' Г (C)' = S-1T (В) SS-1T (С) S =
= S-1T (В) T (С) S = S-1T (ВС) S = T (ВС)', (6.10)
где во втором равенстве использовано, что SS~l = E. Так как выбор матрицы S произволен, то очевидно, что бесконечное многообразие представлений (6.9) не может существенно отличаться друг от друга и давать разную информацию. Мы будем все такие представления, получаемые посредством преобразования подобия, называть эквивалентными и будем рассматривать их как одно представление. В связи с этим важно отметить, что шпур (след) матрицы не меняется при преобразовании подобия:
Sp Г (A)' = Sp [S-1T (A) S] = Sp [Г (A) SS"1] =
= Sp [Г (Л) Е] = Sp Г (А), (6.11)
где мы воспользовались тем, что шпур произведения двух матриц не зависит от порядка их умножения. Таким образом, матрицы всех эквивалентных представлений имеют для данного элемента группы один и тот же шпур.
Покажем, что если базисные функции ортонормированы, т. е. их скалярное произведение
Ч>*) = S Ч>? (*) Ф* (Jf) dx = 8ik, (6.12)
то матрицы представления Г (R) унитарны. В самом деле,
O/* = (Ф„ %) = (PjPi, PRipk) = (2 Г (R)ri ?,, 2 Г (R)sk % ) = = 2 T *(R)riT (R)sk^r, ^ = HlTb(R)fiT (R)skSrs =
Г, S Г, S
= 2 Г *(R)ri Г (R)rk = 2 г +(Ю» Г (R)rk = [Г +(R) T (R)]lk.
Г T
При переходе в этой цепи равенств от второго звена к третьему мы воспользовались тем, что скалярное произведение не
меняется при ортогональном преобразовании Pr переменных интегрирования (якобиан преобразования равен единице); при переходе от пятого звена к шестому мы воспользовались орто-нормированностью функций ф,- (х); наконец, при переходе от седьмого звена к восьмому-^—определением сопряженной матрицы. 68 SJIEMEHTH
