Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ансельм А.И. -> "Введение в теорию полупроводников" -> 19

Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.

Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников — Москва, 1978. — 618 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriupoluprovodnikov1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 217 >> Следующая


Cn, так что отрезок AB = Ct1 = длина основного вектора решетки

(если «і не лежит в рассматриваемой плоскости, то AB—проек- 50 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il

ция CL1 на эту плоскость). Вращая кристалл вокруг осей А и В на угол а в противоположных направлениях, получим равно-бокую трапецию ABA'В', в которой BA1 = AB' = av Если вращение на угол а—операция симметрии кристалла, то через

точки А' и В' тоже проходят оси Cn, поэтому В'А' = рах, где р—целое число (включая нуль). Из рис. 11.11 следует, что

Рис. 11.11.

В'A' = Ci1 jTcIa1 sin (а—90°) = pav откуда

(4.3)

cosa =

1 -р

Так как |cosa|^l, то возможны только следующие значения р = 3,2, 1,0, —1. Этим значениям р соответствуют следующие углы а:

р = 3, cosa = —1, P = 2, cosa = —V2 р= 1, Cosa = O,

р = 0, cosa = V2.

р = —1, cosa = 1,

а = 180° = 2зх/2, а = 120° = 2л/3, а = 90° = 2л/4, а = 60° = 2л/6, a = O0 или 2л.

(4.4)

Таким образом, в кристалле могут существовать только следующие оси симметрии: C2, C3, C4 и C6.

Третье ограничение, накладываемое на точечную группу &, заключается в том, что если точечная группа простой решетки содержит ось Cn (где п > 2), то она удовлетворяет и симметрии Cnv1).

Если просмотреть все точечные группы (§ 3), то можно установить, что только семь групп, а именно S2, C2h, D2h, Dsd, Dih, Dnh и Oh, удовлетворяют всем трем поставленным выше условиям.

Легко видеть, что группы S2, C2h и D2h удовлетворяют поставленным выше требованиям (в этом случае п = 2, и третье условие не требуется). Далее группы Cnv не содержат центра инверсии, а группы Cnh (п > 2) не содержат подгруппу Crw. Группы Dih и Dsh удовлетворяют всем трем поставленным выше требованиям. Группа Dzh не имеет центра инверсии и должна быть заменена на группу Dad2). Наконец, из кубических групп поставленным выше условиям удовлетворяет только группа Oh.

1J Доказательство см. у JI ю б а р с к о г о Г. Я. Теория групп и ее применение в физике,—M., 1957, с. 32.

2) JI андау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика.—M., 1974, с. 420. 5 4] ГРУППА ТРАНСЛЯЦИИ. СИНГОНИИ И РЕШЕТКИ БРАВЕ 51

Указанные выше семь точечных групп &, образующие семь кристаллических систем или сингоний, имеют следующие названия и обозначения:

1) триклинная (S2) ... tr,

2) моноклинная (Cih) ... т,

3) ромбическая или ортогональная (Dih)...о,

4) тетрагональная или квадратная (Dih)... t, (4.5)

5) ромбоэдрическая или тригональная (D3d)...rh,

6) гексагональная (Deh)...h,

7) кубическая (Oh)...с.

Можно показать, что к одной сингонии могут относиться несколько различных типов простых решеток. Например, к кубической сингонии (с) относятся: простая (Гс), объемноцентриро-ванная (Г?) и гранецентрированная (Г?) кубические решетки (см. рис. 1.5, рис. 11.13). Можно показать, что не существует других простых решеток, обладающих точечной симметрией Oh.

Триклинная сингония (tr) обладает наинизшей симметрией S2 = Ci = \Е, J), которой удовлетворяет простая решетка (Tf) с основными векторами произвольной длины (а1Фа2Фа3), произвольно ориентированными по отношению к друг другу.

Французский кристаллограф А. Браве (1850 г.) показал, что существует всего 14 типов простых решеток (решеток Браве), соответствующих семи сингониям.

Покажем на примере моноклинной сингонии (т), как последовательно определяются возможные типы решеток Браве.

Покажем вначале, что в случае моноклинной сингонии, когда решетка обладает симметрией C2h, два основных вектора решетки (например, ах и а2) лежат в плоскости ah, перпендикулярной к оси C2. Возьмем два вектора решетки а и а', не лежащие в одной плоскости проходящей через ось C2. Векторы а + алаи а'+ала'—тоже векторы решетки (aha—вектор решетки, получаемый из а отражением его в плоскости ah) и, как легко видеть, лежат в плоскости сгЛ. Но это значит, что два основных вектора at и а2 можно выбрать в плоскости ah.

Представим третий основной вектор в виде

а,=а + ?,

где а IlC2 и ?J_C2. Вектор решетки

С2а3-а3 = С2( a + ?)-a-? = a-?-a-? = -2? лежит в плоскости cfft, поэтому

2? = пIiCI1 + m.?,2

(/Ti1 и т2—целые числа или нуль). Таким образом,

as = a + ? = a + ^ia1+^aa. (4.6) 52 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il

Легко видеть, что если от U3 отнять вектор U1U1 + п2и2 (пг и п2—целые числа), то

а'3 = и3—U1U1 +п является тоже основным вектором решетки (для плоской решетки, в этом можно убедиться, рассматривая рис. 1.2, а). Положим третий основной вектор равным

а'ъ = а3——"2и2 = O, +U1+^Y и2—H1U1 -U2U2 =

и выберем коэффициенты при U1 и U2 такими, чтобы они были положительны и не превышали единицу; тогда, в зависимости от того, будут ли Tn1 и т2 четными или нечетными числами, получим следующие четыре случая:

1) аз = а; 2) и'ъ = а + 1I2U1; 3) и3 = а + 112и1 + 112и2; 4) W3 = U+1/^. { ' >

Легко видеть, что 2) отличается от 4) только переобозначением векторов U1 и U2, а 4) переходит в 3), если заменить основной

Рис. 11.12.

вектор U2 на U1 +и2. Существенно различными простыми решетками являются случаи 1) и один из трех остальных (например, 4)). Этим случаям, как это следует из (4.7), соответствуют следующие взаимные ориентации основных векторов (мы опускаем штрих У «з):
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 217 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed