Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Если поэтому а—элемент инвариантной подгруппы Ж группы G, то все элементы a' =g~1&g, где g—любой элемент группы 37 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il
G(g?G) принадлежит инвариантной подгруппе (это следует из того, что все элементы класса входят в подгруппу Ж).
Все элементы одного класса имеют один и тот же порядок п; в самом деле, если An = E, то Bn = {у-1 AV)n = V-1AVV-1AV... .. .V-1AV = V'1 AnV = E. Легко увидеть, что элементы одного класса обладают некоторым «подобием». Класс 2) в (2.4) — вращения на угол 180°, а класс 3) — вращения на угол 120°. В дальнейшем мы более точно установим сущность «подобия» элементов одного класса.
5. Пусть имеются две, вообще говоря, не абелевы группы
St = [A1 = E, A2, A3.....Aha), ® = {B1^E,Bi,B3,...,Bhb\ (2.5)
порядков ha и hb. Пусть элементы разных групп различны (кроме единичного: A1 = B1 = E) и коммутируют друг с другом, т. е. AkBl = BlAk (для всех k и /). Составим HJib произведений AkBl и покажем, что это множество—группа.
В первую очередь покажем, что произведение двух элементов множества есть элемент того же множества:
(Ak,B1,) (AkBl) = (Ak-Ak) (BuBl) = AmBn, где Ak,Ak = Am и BltBl = Bn. Произведение AmBn есть элемент того же множества.
Покажем, что у множества AkBl существует единичный и обратные элементы.
Из (2.5) следует, что единичный элемент множества AkBl равен A1B1 = EE = E. Обратный элемент элемента AkBl равен (AkBl)-1 = Bj1Ak1 = Ak1Bj1 и тоже принадлежит рассматриваемому множеству.
Группа из элементов AkBl называется прямым произведением групп St и S и обозначается через ЗІх 23. Порядок группы прямого произведения SlxS равен произведению порядков групп St и 23.
Элементы класса группы StxS, определяемого элементом AkBl, равны
(AklBl.)-1 (AkBl) (Ak-Bl,) = Bj1 Ak) AkBlAklBl. =
= (AkIAkAk,) (BJB1B1,) = Ak.,B1,,, (2.6) где мы воспользовались коммутативностью элементов, относящихся к разным группам SI и S3. В (2.6) Ak, и B1, последовательно равны всем элементам групп Sl и 33. Если Ak принадлежит некоторому классу а группы St, a B1 — некоторому классу ? группы 23, то Ak,, и B1,, тоже принадлежат классам а и ?. Элемент AkrBl,, будет принадлежать классу группы 31x23, происходящему от классов а и ? групп St и 25. Таким образом, каждой паре классов групп St и S соответствует класс группы Stx 23, следовательно, число классов прямого произведения групп равно произведению числа их классов. §3]
ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ
39
6. Пусть имеются две группы «нештрихованная» и «штрихованная»: G = {Л, В,С, .. .,Q, ...} и G' = {А', В',С'.....Q', ...},
вообще говоря, с элементами разной природы и разным смыслом. Если между элементами обеих групп можно установить такое взаимно однозначное соответствие: А*-* А', В*-+В', ... ..., Q <-»Q', ¦••, чтобы при BA = Q имело место В'A'= Q', т. е. чтобы для обеих групп имелась одинаковая таблица умножения, то группы называются изоморфными. Например, элементами группы G могут являться операции движения геометрической фигуры, приводящие ее к совпадению с собой (см. группу равностороннего треугольника Д), а элементами группы G' могут быть матрицы одного ранга, перемножающиеся по той же таблице умножения1) (табл. II.1). С точки зрения абстрактной теории групп изоморфные группы тождественны.
Если же нескольким элементам группы G сопоставляется один элемент группы G', например: А—* А', В—у А', ... Q—+Q', при этом из BA = Q следует A A' = (Л')2 = Q', то группа G называется гомоморфной группе G'. Гомоморфные группы имеют разный порядок (так как в группе G' все элементы должны быть разными). Тривиальный пример гомоморфизма—это сопоставление всем элементам, группы G единицы: А—>-1, В—> 1 ,...,Q—»-1 с законом арифметического умножения в группе G'. В этом случае любой группе сопоставляется группа первого порядка
(A=I)-
Если каждой операции симметрии треугольника (Е, А, В, .. .) на рис. II.1 сопоставить перестановку чисел 1, 2 и 3, отмечающих его вершины, то множество перестановок (число которых равно 3! = 6) образует группу, изоморфную D3:
Е<*(1, 2, 5), Л<->(/, 3, 2), В+4(3, 2, 1), ...
§ 3. Точечные группы а)
1. Такие перемещения тела конечных размеров (например, молекулы), которые приводят к совпадению его с самим собой (самосовпадению), образуют так называемую точечную группу. Для тела конечных размеров такими перемещениями могут быть повороты на некоторые углы вокруг осей, имеющих общую точку пересечения, и отражения в плоскостях, содержащих эту же
1J В следующей главе мы подробно рассмотрим этот случай.
2) Прекрасное и более полное изложение вопроса можно найти в книге: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. /Теоретическая физика, т. 3.—Квантовая механика—3 изд.—M.: Наука, 1974, § 91, 93, которой мы близко придерживаемся в этом параграфе. 39 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il
точку1). Ось вращения на угол 2я/м обозначается через Cn, а на угол р(2я/п) через Cpn, если п кратно р, то Cpn=-Cnjp. Очевидно, что Cn = E = единичному элементу, так как соответствует
2п г.
