Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
45
VI. Группы Dnh. Если добавить к системе осей Dn горизонтальную плоскость отражения oh, то это автоматически приведет к появлению п вертикальных плоскостей ov, проходящих через ось Cn и одну из перпендикулярных к ней осей C2 (это следует из (3.3а), если положить ov = oh и 2ф = 180°). Получающаяся при этом группа Dnh содержит 4п элементов: 2п элементов группы Dn, п отражений ov и п зеркально-поворотных преобразований CknOh.
Отражение oh коммутирует со всеми остальными элементами группы; поэтому можно написать Dnh в виде прямого произведения DnXCs (или CnvXCs), где Cs есть группа из двух элементов E и oh. Отсюда следует, что число -классов в группе Dnh равно удвоенному числу классов в группе Dn. Половина из них совпадает с классами группы Dn, а другая половина получается умножением их на oh. Очевидно, что при четном п = 2/7, когда группа D2 , h содержит инверсию J, можно написать D2p н — = D XCi.
VII. Группы Dnd. Если провести плоскость симметрии через ось Cn группы Dn, так чтобы она делила пополам угол между соседними осями C2, то это приведет к появлению еще п—1 плоскостей, проходящих через ось Cn.
Получающаяся при этом группа Dnd содержит 4п элементов. К 2п элементам группы Dn присоединяются п отражений в вертикальных плоскостях, обозначаемых через od (d—-от слова diagonal) и п преобразований вида C3Od. Можно показать1), что C2ad = S2*+1, где k=l, 2, ..., (п — 1), т. е. представляют собой зеркально-поворотные преобразования вокруг вертикальной оси, которая оказывается не только осью симметрии п-гв порядка, но и зеркально-поворотной осью 2п-го порядка.
Перейдем теперь к рассмотрению весьма важных точечных групп более высокой симметрии (когда имеется несколько пересекающихся осей п-го порядка), называемых кубическими. Называются они так потому, что их элементы симметрии можно выбрать из числа осей и плоскостей симметрии куба.
VIII. Группа осей тетраэдра Т. Эта группа состоит из трех осей C2 и четырех осей C3 правильного тетраэдра. На рис. II.8, а, б показано, как эти оси провести в тетраэдре и как их можно выбрать в кубе (оси C2 перпендикулярны граням куба, оси Cs совпадают с его объемными диагоналями);
*) Ландау Л. Д., Лнфшиц Е. M., Квантовая механика.— М. 1974, стр. 420, 46 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il
на рис. II. 8, б в куб вписан тетраэдр с вершиной а и основанием bed. Всего имеется 12 элементов: Е, 3C2, 4C3, 4Сз( = 4С~1). Три оси C3 эквивалентны. Оси C3 тоже эквивалентны, но не являются
а *
6) В)
Рис. II. 8.
двухсторонними, поэтому элементы группы T распределяются по четырем классам:
E- 3C2; 4С3; 4Cj.
Симметрия T не является полной симметрией тетраэдра (см. группу Td). Для того чтобы получить фигуру, обладающую симметрией Т, достаточно взять произвольное тело, не обладающее симметрией и подвергнутьего всем двенадцати преобразованиям
группы Т\ мы получим фигуру, обладающую симметрией Т.
Такая фигура изображена на рис. II. 9. Метка 1 последовательно подвергнута всем преобразованиям группы Т. Повороты C2 вокруг осей X, у, г преобразуют 1 в 2,3, 4\ повороты C3 и Cl = C31 вокруг осей, проходящих через вершины тетраэдра а, Ь, с, d, размножают метку по положениям 5, ..., 12.
IX. Группа Td. Эта группа содержит все преобразования симметрии тетраэдра. Для того чтобы ее получить, надо к трем осям C2 и четырем осям Ca добавить шесть плоскостей отражения, каждая из которых проходит через одну ось C2 и две оси C3 (см. рис. 11.8,(?1)). При этом оси C2 превращаются в зер-кально-поворотные оси S4. В самом деле, произведение поворота C2 вокруг оси Ox по часовой стрелке (рис. II. 8, б) и отражения в плоскости aOd перемещает вершины тетраэдра следующим образом: а—>-с, d—>-b, b—>-d—>-а, с—>-а—*d. С другой
1J Вторая плоскость, проходящая через ту же ось C2 на рис. II. 8, в, проходит через ребро afb и точку е.
Рис. II. 9. §3]
ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ
47
стороны, зеркальный поворот вокруг оси Oz на угол я/2 с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной к Oz (каждая из этих операций в отдельности не является операцией симметрии тетраэдра!), перемещает вершины тетраэдра так: Ь—>-а, d—а—у с, с—>d, что совпадает с результатом первых двух операций. Отсюда следует, что в тетраэдре имеются оси симметрии S4, направленные вдоль осей C2. Поскольку плоскости симметрии проходят через оси C3, последние становятся двухсторонними и, следовательно, элементы C3 и CI = Cf1 принадлежат к одному классу. Все плоскости и оси каждого рода эквивалентны. Поэтому 24 элемента группы распределяются по следующим пяти классам1):
Е, 8 (C3, Cl) 6а, 6 (S4, SJ), ЗС2.
X. Группа Th. Эта группа получается, если к группе T добавить центр симметрии (инверсию), так что Th = TxCi. В результате получается вдвое большее число элементов и классов, чем в группе T (т. е. 24 элемента, расположенных по 8 классам).
XI. Группа осей куба О. Это одна из наиболее важных точечных групп: она состоит из всех осей симметрии куба; трех осей C4, проходящих через центры противоположных граней, четырех осей C3—через противоположные вершины и шести
