Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
е3
I \ S \ /
7
\ Ср.
А
W
Oh
Рис. 11.10.
осей C2 — через середины противоположных ребер (рис. II. 10). Все оси одинакового порядка эквивалентны и все оси двухсторонние. Поэтому 24 элемента группы распределяются по следующим пяти классам:
Е, 8 (C3, C3), 3 (C2 = Cl), 6C2, 6 (C4, CJ).
Подчеркнем, что группа О не дает полной симметрии куба. Фигура, обладающая симметрией О, может быть получена ана-
J) Здесь и дальше численный коэффициент равен полному числу элементов класса, например 8 (C3, С|) = 4С3 + 4Сд. 47 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il
логично описанному в группе Т, т. е. «размножением» некоторой несимметричной фигуры 24 преобразованиями симметрии группы О. Нетрудно показать, что группа О изоморфна группе тетраэдра Td.
XII. Группа Oh. Эта группа есть группа полной симметрии куба (октаэдра). Она наряду со всеми осями симметрии куба содержит центр симметрии (инверсию). Так как E и инверсия J коммутируют со всеми элементами группы О, то группа Oh равна прямому произведению групп О и Ci = {Е, /}, т. е. Oh = OxCi. Можно показать, что группа Oh может быть представлена и как прямое произведение групп Td и Ci, т. е. Oh = TdXCi1). Число элементов группы Oh равно 48(24x2), число классов равно 10(5x2). Все элементы и классы группы Oh могут быть получены умножением элементов и классов группы О (или Td) на E и / (отсюда следует, что половина элементов и классов группы Oh совпадает с элементами и классами групп О или Td, а остальные получаются умножением на J). Добавление центра инверсии автоматически приводит к появлению шести плоскостей отражения, проходящих через противоположные ребра (это можно показать, используя (3.2)). Легко также показать, как и в случае группы Td, что при этом оси C3 превращаются в зеркально-поворотные оси S6 (рис. II. 10), а оси 4-го порядка в зеркально-поворотные оси Si, в результате чего появляются еще три плоскости отражения, перпендикулярные этим осям, т. е. параллельные граням куба.
Такой же симметрией обладают, как мы уже отмечали в гл. I, § 1, ячейки Вигнера — Зейтца для объемноцентрированного куба (четырнадцатигранник, изображенный на рис. IV. 5, а) и для гранецентрированного куба (двенадцатигранник или додекаэдр, изображенный на рис. IV. 6, а).
§ 4. Группа трансляций.
Сингоиии (кристаллические системы) и решетки Браве
1. Рассмотрим множество векторов решетки
а^ая = ^a1+пга2 + п3а3, (4.1)
соответствующих целочисленным значениям и1( п2 и п3. Множество (4.1) образует группу, если в качестве закона умножения принять геометрическое сложение векторов а; единичный элемент группы
Е = аа = 0. (4.2)
Элемент, обратный ап, равен — ап. Эта группа, которую мы будем обозначать через &, называется группой трансляций.
1) Более подробно это будет показане ¦ гл. IV, § 8. 5 4] ГРУППА ТРАНСЛЯЦИИ. СИНГОНИИ И РЕШЕТКИ БРАВЕ 49
Очевидно, что группа сГ является абелевой, так что каждый элемент (4.1) является классом группы.
Для идеального бесконечного кристалла трансляционная группа бесконечна. В § 8, п. 1 мы покажем, как бесконечная группа трансляций посредством задания некоторых условий (цикличности) может быть превращена в конечную группу с большим, но конечным числом элементов.
Если в каждый узел Hiti1, п2, п3) (4.1) поместить одинаковый атом сферической формы, то мы получим простую (или пустую) кристаллическую решетку.
Простые решетки могут удовлетворять не только трянсляци-онной симметрии (4.1), но и дополнительно симметрии точечной группы. Например, простая кубическая решетка, удовлетворяющая трансляционной симметрии с тремя взаимно перпендикулярными основными векторами Ui (i = 1, 2, 3) одинаковой длины, симметрична относительно преобразований точечной группы Oh (начало координат можно поместить в один из узлов решетки или в центр кубической ячейки). Точечную группу симметрии простой решетки мы будем обозначать S>. Очевидно, любой элемент R группы & преобразует любой вектор решетки ап в другой вектор решетки а„>, т. е. Ran = аП'-
Мы покажем, что трансляционная симметрия (4.1) (при произвольных а,) налагает ограничения на группы точечной симметрии , которым должна удовлетворять простая решетка. Как мы сейчас покажем, для простых решеток имеется только семь точечных групп (сингоний), совместимых с трансляционной симметрией.
В первую очередь отметим, что так как наряду с вектором решетки ап существует вектор решетки —ап (для этого достаточно у всех целых чисел л,- поменять знаки на обратные), то простая решетка симметрична (инвариантна) относительно инверсии J. Сложная решетка (см., например, рис. 1.2, в), вообще говоря, не инвариантна относительно операции инверсии.
Во-вторых, покажем, что с трансляционной симметрией совместимы только оси симметрии 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков. Оси 5-го, 7-го и более высоких порядков существовать в кристаллах не могут.
Приведем изящное доказательство этого, принадлежащее П. Ниггли (1919).
Проведем в кристалле плоскость, перпендикулярную осям симметрии Cn (п = 2п/а, а—наименьший угол поворота вокруг оси симметрии Cn). Пусть эта плоскость совпадает с плоскостью рис. 11.11. А и В—следы двух ближайших друг к другу осей
