Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим два важных предельных случая, когда интеграл в выражении (2.5) может быть просто вычислен.
2. Рассмотрим случай сильно в ы р о ж де н н о г о электронного газа, когда z^> 1, т.е. химический потенциал t,^>k0T. Как мы увидим ниже, этот случай реализуется в хороших металлах, у которых концентрация электронов проводимости яда да IO22 см~3. Очевидно, что в этом случае /0 (в) да 1 для е<<с? и /0 (є) да 0 для крутой спад /0 (є) происходит вблизи точки
є = ? в интервале шириной порядка k0T.
Функции /0 (є) и ^ — j схематически изображены на рис. VI.2. Чем ниже температура, тем ^—j ближе к дельта-
!) Mc. Dougall Т., Stoner Е. С, —Phil. Trans. Roy. Soc., 1938, v.
A 237, p. 350.
2) Beer A. C., Chase M. N., C h о q u а г d P. F. —Helv. Phys. Acta, 1955, v. 28, p. 529.
3) Rhodes P. —Proc. Roy. Soc., 1950, v. A 204, p. 396. §2]
РАВНОВЕСИЕ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
341
функции. В самом деле, ^—отлична от нуля только вблизи точки е = ? и
СО QD
j (~їг) de= -р/о=/о (0)-/о (oo) = it о о
так как /0 (0) = 1 и /0 (оо) = 0.
Таким образом, ^—— ?0), где ?0 — значение Z, при
T = 0.
Вычислим в случае сильного вырождения интеграл (% (є) — произвольная функция):
/
= Jx(e)/. (в) de = j/0 (є)dtp (є) =
OD OD CO
= /o (є)ф(є) -^Ф(є)^є = -Ф(0)+^Ф(є) (-^W (2.7)
0 0 о
где на первом этапе выполнено преобразование %(s)de = = dф(е), обычное при интегрировании по частям. Как мы увидим ниже, Ф (O) = O для всех практических случаев, поэтому j
J =
GO
J<P(e)(—Il) (2.7а)
Используем эту формулу для вы числения выражения (2.5) ^ приб- ^
лижении, когда ^—j a; S (є — ?0).
Так как в (2.5) х(е) = 2g(e), то ф (е) =J^4 є3/2. Таким
Рис. VI. 2.
образом,
п =
V2 т*3'2 2 л2 р 3
я2 р 3
00
Je'/26(e-y de = -^-2 (2.8)
откуда химическии потенциал
P
(2л?)2 / Зл \ 2/8
?0 = ^(3я2д)2/з^^-лжу
(2.8а)
что в точности совпадает с максимальной кинетической энергией электронов е0 идеального ферми-газа при абсолютном нуле температуры (Приложение 4). 342 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ, ТЕПЛОВЫЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
[ГЛ. VI
В следующем приближении (Приложение 17) химический потенциал
Используя нулевое приближение для химического потенциала, запишем условие сильного вырождения в явном виде:
Как видно из функции распределения /0(е), условие вырожден ния (2.10) носит на самом деле экспоненциальный характер, т. е. exp (ZlJk0T)^ 1; поэтому, если Zl0IkaT та 5 -J- 7, то вырождение можно считать сильным.
Из (2.10) мы видим, что вырождению способствует высокая концентрация п, малая эффективная масса т* и низкая температура Т. Для типичного металла спя IO22 см~3, т* та Ю-27 г при комнатной температуре Il0Ik0T та IO2, т. е. вырождение очень сильное. Легко видеть, что свободные электроны в металле остаются сильно вырожденными вплоть до его температуры плавления.
3. Мы рассмотрели случай положительного химического потенциала удовлетворяющего неравенству exp (ZlIk0T) 1 (условие вырождения). Рассмотрим теперь противоположный случай—отрицательного химического потенциала, удовлетворяющего неравенству exp (—Z,/k0T)^>l. В этом случае функция распределения
/о (е) = (е-?)/1,г , , е~г'КТ = Ae~*'k°T > (2Л1)
є -f-1
т. е. переходит в распределение Максвелла — Больцмана с нормировочной константой А = exp (Z,/k0T). Концентрация электронов в зоне проводимости, согласно (2.5), равна
VT in*3/2 С , _B/4.r„1/a, _ (2nm*k0T)3'
J Ае-^г^Чг -= ^^ф — А• (2Л2) о
При вычислении интеграла мы ввели переменную х = г1'2 и воспользовались формулой (П.7.2). Из формулы (2.12) следует
-4=^r = IiJSk- <2л2а>
t-V'-hs^r]- ^
В противоположность вырожденному случаю (2.9), в классической статистике химический потенциал Z,, как видно из (2.126), довольно сильно зависит от температуры. §2]
РАВНОВЕСИЕ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
343
Функция распределения (2.11) может быть записана теперь в следующем виде:
f іпФп k 1а)
,ow (2л m*k0T)3/2 v
Критерий применимости классической статистики имеет вид
Є \ _ 1 _ (2nm*k0T)3^ koT J А 4л3?3п
ехр
>1.
(2.13)
что согласуется с (2.10).
Мы видим, что применению классической статистики способствует малая концентрация п, высокая температура T и боль-
IO17 см-
т'
IO"2
шая эффективная масса т*. Для ri:
при комнатной температуре J-ж 300, т.е. критерий (2.13) выполняется с избытком. Граничное значение концентрации, соответствующее J- ж 1, равно я ж IO19 см~3.
4. Обычно в полупроводниках концентрация электронов в зоне проводимости сама является функцией температуры. Это происходит в силу теплового возбуждения электронов примесей и валентной зоны. Формулы, полученные выше, остаются, конечно, правильными, но мало эффективными, так как нам неизвестна явная зависимость п(Т). Кроме того, при возбуждении электронов из валентной зоны в ней остаются положительно заряженные подвижные дырки, которые наряду с электронами зоны проводимости участвуют в явлениях переноса. Поэтому в этом случае задача должна быть рассмотрена иначе. На рис. VI.3
