Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
представлена схема уровней энергии примесного полупроводника с запрещенной зоной шириной б0 и донорными и акцепторными уровнями, отстоящими от нижнего края зоны проводимости на величину гв и ел. Все энергии условимся отсчитывать от нулевого уровня, совпадающего с нижним краем зоны проводимости. Вероятность того, что квантовое состояние с энергией є не занято электроном, т. е. по определению является дыркой, равна
П («О = 1 -/. (е) = 1--J-=—гпг-. (2-14)
Рис. VI. 3.
е-Е
. к0Т
Izl
,KT
.1 е""' +1
где /„'(є)—функция распределения Ферми—Дирака для дырок. 344 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ, ТЕПЛОВЫЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
[ГЛ. VI
Если отсчитывать все энергии от нижнего края зоны проводимости, то энергия электрона в зоне проводимости равна є = = %2№/2тп, на донорном уровне 8=—єд, на акцепторном уровне E =—еа и в валентной зоне е = —E0—є', где е' = %2k'2/2mp— «кинетическая» энергия дырки, a Ea—ширина запрещенной зоны.
Если ввести «химический потенциал дырок» XJ =—ее—то функция распределения для дырок (2.14) может быть записана в виде
Г. M =-CT--(2.14а)
— совершенно аналогично функции распределения (2.1) для электронов.
Условие нейтральности полупроводника, из которого определяется его химический потенциал может быть выражено в следующей форме: (число электронов в зоне проводимости) + 4- (число электронов на акцепторных уровнях) = (число дырок в валентной зоне)+(число дырок на донорных уровнях), т.е.
P 2g (е) de у 1
J PYniZli-Ll — — eA-Ъ I , (зова пров.) e P k0T (Л) P—k^T--^
= I пп S+ep+s' 11 ¦ (2Л5)
(вал. зона) exp-j^p--1- 1 (D) exp --1- I
Если электроны в зоне проводимости и дырки в валентной зоне подчиняются классической статистике: А = exp (Zlk0T)
У I g
1 и exp ^t 1, то интегралы в (2.15) аналогичны интегралу в (2.12), так что
(2n/tt„fe07t/2__ПА__ (2пт^Т)"* і -Ifo
4лФ Л+ 1 .... ( ел \ , . ~ 4л»Д» "А* ° +
лехр V кт
nD
ЛеХр1+#> + 1
(2.15а)
Здесь пА и nD—концентрации акцепторов и доноров. Из (2.15а) видно, что концентрации электронов проводимости п и дырок в валентной зоне р равны
. (2ятЛ)7У/2
ехр (2.156)
4Я3?3 Р k0T
р= УмрЬГ)"* (_*o±t\ . (2.15В)
4пф kktt) '
Уравнение нейтральности (2.15а) определяет величину А или химический потенциал Z = kJT\nA. В общем случае это алгеб- §2]
РАВНОВЕСИЕ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
345
раическое уравнение 4-й степени относительно А. Существуют эффективные численные и графические методы его решения. Мы ограничимся рассмотрением ряда частных, но важных случаев, когда решение может быть получено в виде простых формул.
^ Собственный полупроводник (nA = nD = 0). Из (2.15а) получим
Л = Ш 3/4 exP(2Л6)
откуда
?=-^ + 4^(-?. (2.16а)
Так как множитель -|-1п ~ 1, то второе слагаемое в (2.16а)
порядка k0T и, следовательно, с такой точностью химический потенциал ? в собственном полупроводнике (диэлектрике) находится в середине запрещенной зоны. Если тр = тп, то это утверждение точно, и в этом случае ? от температуры не зависит (в той мере, в какой мы не рассматриваем зависимость ширины зоны е0 от температуры). Концентрации электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне одинаковы и равны
n^-4яФ ехр (--afr) syiIexp (—afr) • <2Л6б)
Легко видеть, что предъэкспоненциальный множитель п\ по порядку величины равен концентрации, соответствующей одной частице на объем 1K3, где 1K—длина дебройлевской волны электрона (дырки), движущегося с тепловой скоростью. Для тпн = = тр = т = 0,9• 10-а- г и Г = 294®К п°Т = 2,44-IO19 см~3. Концентрация Пт неограниченно возрастает при T—юоине ограничена числом электронов в валентной зоне. Это связано с тем, что при выводе уравнения (2.15а) нигде не учитывается конечная ширина валентной зоны. Условие нормировки в случае собственного полупроводника заключается только в утверждении, что число электронов в зоне проводимости равно числу свободных мест (дырок) в валентной зоне.
2) Примесный полупроводник (например, донор-ног о типа пА = 0) с широкой запрещенной зоной
(? ^?)-
Из (2.15а) имеем
(2птЛТ)*/г , (л Ш , ! ) = яп. (2.17)
где мы пренебрегли членом, пропорциональным ехр ^ — (е0>ео1). 346 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ, ТЕПЛОВЫЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА [ГЛ. VI
Рассмотрим два случая.
eD
a) Ae >1.
Так как то это может иметь место только в случае
Eo^k0T. Пренебрегая в скобке выражения (2.17) единицей, получим
A = —р=—--^jre (2.18)
V 2 (2nmnk0T)3'4 У '
И
+ In-{2nhfnD4/2 ¦ (2.18а)
2 2 2(2nmnk0T)s/2 V 7
При концентрации доноров nD = IO17 см~а, тп = Ю-27 г и температуре T = 300° К величина, стоящая под логарифмом в (2.18а) порядка IO-2, т. е. второе слагаемое порядка k0T. Это означает, что химический потенциал проходит примерно посредине между нижним краем зоны проводимости и уровнем донора. Концентрация электронов проводимости
21'' (2 nmnkjf!i и'*__fD_
1 0 JLe 2А.Г . (2.186)
п =
Заметим, что ncoV nD.
(:2л%)
12
Є
d
б) <^1.
Так как то этот случай всегда реализуется, если
Eo^k0T. Пренебрежем в этом случае в скобке (2.17) величиной
