Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
2) Более общий подход см. Ансельм А. И., с. 92.' § 4] МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА 355
2. Рассмотрим теорию намагничения вещества, состоящего из свободно вращающихся частиц (молекул) с постоянными магнитными моментами \iA (теория парамагнитного газа Ланже-вена). Магнитное поле H ориентирует магнитные моменты fiA вдоль поля, тепловое движение дезориентирует их. С классической точки зрения момент fiA может быть произвольно ориентирован относительно поля Н. Потенциальная энергия fiA в поле H равна — (цл//) =— (глЯсоэ^, где $— угол между цл и Н. Вероятность цА быть направленным к полю H под углом, лежащим между й и u+du, равна
dw = А ехр sin а (4.6)
KqJ
где 2nsinftdu = dQ—телесный угол, соответствующий интервалу угла dd, а А — константа, определяемая из условия нормировки вероятности:
я +1
^dw = A^sm^db = A § eaxdx= 1, (4.6а) о -1
где a = \iAH/k0T и a; = cosu.
Среднее значение проекции момента цл на направление магнитного поля
+ 1
хеах dx
(Ii4 cos ^ da» = Iii4 -. (4.7)
^ e<*xdx -1
Интеграл в знаменателе берется элементарно, а интеграл числителя равен производной по a от интеграла знаменателя. Таким образом,
^ = ^(??). (4-7а)
где функция Ланжевена
= -ctha-1. (4.76)
Для слабых полей, когда iiAH<^.k0T, т. е. получим,
разлагая правую часть (4.76) в ряд:
L (а) & а/3. (4.7в)
В этом случае намагниченность
Ж = /г<(хл> = ^Я, (4.8) 356 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ, ТЕПЛОВЫЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА [ГЛ. VI
откуда магнитная восприимчивость
X = М/Н = ii2An/3k0T. (4.8а)
Мы видим, что в согласии с законом П. Кюри % оо .
В квантовой теории парамагнетизма атомов и ионов необходимо учесть два важных обстоятельства: дискретность пространственного квантования момента количества движения электрона и наличие у него спйна.
В квантовой механике показывается *), что если электрон в атоме находится в стационарном состоянии с определенной проекцией момента количества движения (вращательного момента) Jgz = %m (т—магнитное квантовое число), то этому состоянию соответствует магнитный момент M2 = \iBm, где
^ = ш = 0-927'10-20 3P^ (4-9)
— магнетон Бора—элементарный (наименьший) магнитный момент, фигурирующий в квантовой теории.
Таким образом, для орбитального движения электрона
^ = Ш- (4.9а)
Такое же значение имеет отношение этих величин в классической теории (см. в следующем параграфе формулу (5.2)).
Теория и опыт показывают, что свободный электрон обладает магнитным моментом, равным магнетону Бора и вращательным моментом, проекции которого на заданное направление равны sz = ±%/2. Эти свойства электрона получили название спйна.
Для спина электрона отношение н-в/І^І имеет «аномальное», вдвое большее значение, чем в (4.9а).
Складывая векторно2) магнитные и вращательные моменты орбитального движения и спина, легко понять, что в силу «аномальности» отношения \iBl\sz\ для спина, направление результирующего магнитного момента не будет совпадать с направлением результирующего вращательного момента.
Это обстоятельство служит причиной аномального эффекта Зеемана. Можно показать3), что в результате прецессии результирующего магнитного момента вокруг результирующего вращательного момента в направлении последнего возникает эффективный магнитный момент
V-J = V-Bjg. (4.10)
1J Б л о X и н ц е в Д. И., § 53.
2) Так называемая векторная модель атома обосновывается в
квантовой механике посредством теории групп.
Б л о X и н ц е в Д. И., § 74. § 4] МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА 357
где } — квантовое число полного вращательного момента, равного Kyrj (/ + 1), а
g„1+-/(/+1)+^(,+ 1)-/(/ + 1) (4Л0а)
— множитель Ландэ. Здесь I—квантовое число орбитального вращательного момента, равного A]/"/(/+ 1), a s—спиновое квантовое число принимающее два значения: +V2 и —V2-Во внешнем магнитном поле H результирующий вращательный момент электрона в атоме принимает 2/ + 1 дискретных ориен-
таций, образуя с магнитным полем углы: cos (Н, }) = m/j, где т—магнитное квантовое число, принимающее значения /, j—1.....О, ..., —/ + 1, —/• Энергия магнитного момента и/ в магнитном поле равна
"и= — Hytfcos (/О)= — V-BUgni. (4.11)
Среднее значение магнитного момента в направлении поля равно
"и
+/ ^^ —і +/ 2 y-j COS (//, Л е КТ 2 meam
<V> = —-:-z:-= VbS ^-. (4.12)
+;' і* п
у 'Kf 2 еат
m=-i
где a = [LBgH/k0T.
Рассмотрим для простоты случай слабых магнитных полей, когда так что можно положить ехр (am) да 1 +а/и.
В этом случае из (4.12) легко следует
(4ЛЗ>
так что магнитная восприимчивость аналогично (4.8а) равна
Х = яф>/Я = ц|ия/Зй0г, _ (4.13а)
где эффективный магнитный момент иен = Hb^VOO + !)- Мы видим, что и в квантовом случае % обратно пропорционально Т.
3. Рассмотрим парамагнетизм свободных электронов (электронного газа), связанный с существованием магнитного момента у электрона (спина). В этом случае орбитальный вращательный момент равен нулю (/ = 0) и, следовательно, / = S = V2-
Таким образом, множитель Ландэ для свободных электронов
