Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
А ехр ; получим
4 пФп0 29
(2лтп/г0Т)3/ У '
4я3Й.3лг> /п і<-> \
S = ^lnp яиАГ)3/а. (2.19а)
Концентрация электронов проводимости
n = nD. (2.196)
Этот результат имеет вполне наглядный смысл: если k0T^ED, то практически все доноры ионизованы и п « nD. Легко видеть, что химический потенциал ? при этом отрицателен и расположен ниже донорного уровня, Т. е. I ? I > Ed.
Если Eo^k0T, то можно всегда подобрать такие малые nD, чтобы выполнялось условие б). Например, если Eo=IOk0T, то для того, чтобы все доноры были ионизованы при комнатной температуре, необходимо, чтобы nD<^1015 см~ъ. Эго тоже имеет вполне наглядный смысл, так как малая концентрация доноров весьма затрудняет переходы на них электронов из зоны проводимости. §2]
РАВНОВЕСИЕ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
347
Аналогично случаю 2) может быть рассмотрен примесный полупроводник акцепторного типа (nD = 0).
Если учитывать в статистическом равновесии электронов одновременно зону проводимости, валентную зону и один сорт примесей (например, доноры), то уравнение (2.15а) превращается в алгебраическое уравнение 3-й степени относительно А и может решаться численно или графически.
Перемножая (2.156) и (2.15в) и сравнивая с (2.166), получим полезную формулу
(2Л VT^k0T)3 -2Я-
ПР = (4яФ)з-Є ^ =^ (2'20)
т. е. произведение концентраций электронов и дырок в примесном полупроводнике равно квадрату концентрации электронов (или дырок) в том же полупроводнике, лишенном примесей (собственном полупроводнике).
5. Для того чтобы применить уравнение (2.15) к полупроводникам со сложной структурой энергетической зоны, таким, например, как германий или кремний, надо определить в этом случае плотность состояний g (е).
В «-германии и п-кремнии энергетический спектр электронов состоит из ряда эквивалентных минимумов, симметрично расположенных в зоне Бриллюэна. Вблизи каждого из этих минимумов энергия
^2 / kl kl kl 2 \ In1 "т" т2 т3 , где k — волновой вектор электрона, отсчитываемый от точки минимума; оси X, у и 2 направлены по главным осям эллипсоида энергии є (k) = const (для германия и кремния поверхности постоянной энергии — эллипсоиды вращения, так что /Tz1 = т2).
Введем в й-пространстве преобразование
kx = k'xVmy, ku==k'yym2, kz = k'zV7na. (2.21а)
Тогда эиеогия
є = А2/г'2/2. (2.216)
Число состоянии в 1 см3 в элементарном объеме dkxdkydkz равно
dkxdkydkz dk'xdk'udk'z
8 л3 = 8 J .
Учитывая (2.216), получим аналогично (IV.3.27)
g(в) = Q Nc '""УУё, (2.22)
где Nc—число эквивалентных минимумов. Для германия Nc = 4, для кремния Afc = 6.
Мы видим, что величина т* в (IV.3.27) заменяется на N2J* (/HlUiiHisYf'.
в W =4- {^7 + ilt + irl (2-21) 348 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ, ТЕПЛОВЫЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА [ГЛ. VI
Для того чтобы (2.22) имело вид, аналогичный (IV.3.27), можно ввести «эффективную массу для плотности состояний»
тм = nV3 [IU1Injn3YI*. (2.22а)
Таким образом, при вычислении химического потенциала из (2.126) надо заменить т* на те{{.
Для дырок в валентной зоне германия и кремния энергия для каждой из «гофрированных» поверхностей может быть приведена к виду (IV.15.5)
(2-23)
где т — масса электрона и 0(ft, ф)—определенная функция полярных углов ft и ф. При определении g(s) нас по сути дела будет интересовать переход от переменных k, ft, ф к є, ft, ф, т. е. от k к є при постоянных ft її ф. Число состояний в 1 CM3 в объеме k* dk sin ft dft dtp = k2 dk du равно
PdkdQ VlmsI2 .г- , 1 ^ ,, wri
^dQ'
где мы использовали связь между k и є (2.23) при постоянных ft и ф. Отсюда
«<е> =S2F1^Li К"1«*. ф)<ю. (2-24)
п
где интегрирование ведется по полному телесному углу, а суммирование— по разным энергетическим поверхностям (тяжелым и легким дыркам).
Для дырок «эффективная масса для плотности состояний»
Ф)^Т2/3- (2.24а)
mett = т
В табл. VI.1 приведены отношения ( "^ff ^2 Для электронов и дырок в германии и кремнии. Произведение тз12 на число, взятое из таблицы, дает тЦ^, непосредственно входящее в плотность состояний.
6. Согласно уравнениям (2.166) или (2.186), при понижении температуры до абсолютного нуля (T = 0) концентрация электронов также стремится к нулю и, следовательно, сопротивление полупроводника неограниченно возрастает. Однако сопротивление большинства полупроводников при T—>-0 остается конечным.
Причина этого заключается в том, что при достаточно большой плотности примесных центров волновые функции локализованных электронов перекрываются. При этом энергетические уровни этих электронов несколько расширяются — образуется ТЕПЛОЕМКОСТЬ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
349
Таблица VI. 1
Носители тока Ge (4минимума) Si (6 минимумов)
Электроны 0,412 1,129
Дырки (1) 0,208 0,390
Дырки (2) 0,0084 0,068
Все дырки 0,216 0,458
3/2 meff Среднее геометрическое значение -J- т3'2 для дырок и электронов
0,299 0,719
примесная зона и электроны получают возможность передвигаться по всему объему кристалла. Такой механизм электрического тока получил название примесной проводимости. Обычно подвижность электронов в примесной зоне намного меньше подвижности электронов в зоне проводимости. Примесная подвижность слабо зависит от температуры и быстро уменьшается по мере уменьшения концентрации примесей. Однако она наблюдается и прй сравнительно малых концентрациях примесных центров, например, в германии — До концентраций порядка IO1? см~3.
