Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Такие чистые вещества с узкой запретной зоной получили название собственных полупроводников. Практически чаще приходится иметь дело с примесными полупроводниками, когда поставщиками электронов в зоне проводимости являются доноры, а поставщиками дырок в валентной зоне — акцепторы гл. V,§2, п. 1.
Добавляя различные примесные атомы в разных количествах к чистому веществу, можно получить полупроводники с весьма разнообразными электрическими свойствами. Такие процессы легирования или допирования полупроводника различными примесями наиболее широко были исследованы для германия и кремния, которые получили в последние годы большое техническое применение.
§ 2. Статистическое равновесие свободных электронов в полупроводниках и металлах
1. В настоящей главе мы рассмотрим некоторые свойства полупроводников и металлов, обусловленные свободными электронами (дырками), находящимися в состоянии статистического (термодинамического) равновесия с тепловыми колебаниями кристаллической решетки. Важной особенностью систем, находящихся в состоянии статистического (термодинамического) равновесия, является то, что их свойства не зависят от механизма взаимодействия, приводящего к этому равновесию. Поэтому в нашем случае нет необходимости рассматривать конкретный механизм взаимодействия свободных электронов и дырок с колебаниями решетки и процессы теплового возбуждения и рекомбинации электронов (дырок). Как мы увидим в следующих главах, эти механизмы существенны при рассмотрении кинетических явлений, т.е. процессов электро-и тепло-проводимости, гальвано- и термомагнитных явлений и т. д.
В одноэлектронном приближении взаимодействие между электронами кристалла учитывается только посредством самосогласованного поля, в котором каждый электрон движется независимо от других. Со статистической точки зрения одноэлектронное приближение соответствует модели идеального газа. В состоянии статистического равновесия идеальный газ электронов подчиняется статистике Ферми—Дирака. В статистическом равновесии среднее число электронов в определенном квантовом состоянии, характеризующемся тремя квантовыми числами РАВНОВЕСИЕ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
339
fei. feg. К1)' с энергией Eft при температуре T равно2)
/о (еА) =-^ZT-• (2-1)
ехр
kaT
Здесь Z1—химический потенциал в расчете на 1 электрон, ka — постоянная Больцмана. Функция /0 (е^) называется функцией распределения Ферми—Дирака.
Полное число электронов в объеме V равно
N = Zf0 M = ?----С2-2)
где суммирование ведется по всем квантовым состояниям электрона в объеме V с учетом спина, т. е. с учетом того, что в каждом орбитальном квантовом состоянии могут находиться (в соответствии с принципом Паули) два электрона с противоположно направленными спинами.
Равенство (2.2) определяет химический потенциал ? как функцию концентрации электронов n = NlV и температуры Т. Если число квантовых состояний электрона (без учета спина) в 1 см3 в интервале энергии de равно g (е) de, то число электронов в единице объема с энергией между е и e-\-de равно
п(е) de = 2f0 (e)g(e)de. (2.3)
Если состояние электронов в кристалле характеризуется волновым вектором kik^kx, k2 = ky, k3=kz), то в некоторых случаях удобнее пользоваться не функцией g(e), а числом квантовых состояний электрона, конец волнового вектора которого к лежит в элементе dxk /«!-пространства. Это число квантовых состояний в 1 см3, согласно (III.5.27), равно dxk/(2n)33). Число электронов, у которых составляющие волнового вектора лежат в интервалах от kx до kx-\-dkx, ky до ky + dky, kz до kz + dkz, равно
11 (к) dkx dkv dkz = 2/. (к) %Уг ¦. (2.3а)
Здесь f0(k)—функция распределения (2.1), в которой энергия
1) ki, k2, k3—три дискретных или квазидискретных квантовых числа, характеризующих орбитальное движение электрона; очень часто мы будем под ними понимать три составляющих волнового вектора электрона k(k\ = kx, k2 = ky, ks=kz); для электрона в атоме им будут соответствовать: главное квантовое число п, азимутальное квантовое число I и магнитное квантовое число т.
2) Ансельм А. И., гл. IX, § 2.
3) В пространстве квазиимпульса p=%k, аналогичное число квантовых состояний отличается множителем % 340 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ, ТЕПЛОВЫЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА [ГЛ. VI
є* = є (ft), выражена через волновой вектор k (в приближении скалярной эффективной массы є (k) = %2k2l2m* = р2/2т*).
Мы видели, что для электронов в периодическом поле g(e) определяется выражением (IV.3.25). Если энергия электрона 1
2т'
¦р2, то
= (2-4)
Таким образом, в этом случае концентрация электронов
о Г г / \ / ч J V~2 т*3''2 Г 8l/ads =2 j/„(e)g(e)<fe= ^ j
0 0 expi-T^+l
K0I
_ VT (m*k„T)W p
_ я2 Aa" J e*"*+l ' ^0' 0
где X = Ejk0T и Z = ^Ik0T. Это выражение определяет ? как функцию п, T и m*.
Интеграл, стоящий в правой части (2.5), не выражается через элементарные функции от г. Интегралы вида
QO
^n(Z)=J7Sqr (2-6)
о
часто встречаются в электронной теории кристаллов (в уравнении (2.5) U = 1I2). Для случая п = -V2, V2.3Z2 интегралы (2.6) были табулированы Мак-Дугаллом и Стонером1); для я = V2, 7/2, V2, 1V2—Биром с сотрудниками2) и для п= 1, 2, 3, 4— Родсом3).
