Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ансельм А.И. -> "Введение в теорию полупроводников" -> 130

Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.

Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников — Москва, 1978. — 618 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriupoluprovodnikov1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 217 >> Следующая


Покажем в общем виде, что диамагнитная восприимчивость идеального электронного газа, подчиняющегося классической статистике, равна нулю. Положим магнитное поле2)

H=TOtA, (5.10)

<'•">¦>

где А (х, у, z) — вектор-потенциал, определенный с точностью до градиентного преобразования.

Пользуясь формулами (5.10а), легко показать, что для магнитного поля, направленного вдоль оси z (Hx = Hy = O, Hz = H), вектор-потенциал можно выбрать в следующем виде:

Ax = 0, Ау = хН, A2 = 0. (5.11)

Функция Гамильтона для электрона (с зарядом —е) в магнитном поле равна 3)

где cU (г) — потенциальная энергия электрона.

Свободная энергия идеального газа, подчиняющегося классической статистике, равна 4)

W = —k0T InZ. (5.13)

*) Мы исключаем г, а не так как считаем скорость v заданной.

2) T а мм И. E., Основы теории электричества, M.: Наука, 1976, § 46.

3) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля, —3 изд.—M.: Наука, 1973, § 16.

4) А н с е л ь м А. И. Основы статистической физики и термодинамика,— M.: 1973, § 3. 364 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ, ТЕПЛОВЫЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА

[ГЛ. VI

Здесь статистический интеграл

+ ш ж -Ijy

Z= J J \dpxdpydpz\ J \dxdydze~k°T , (5.13а)

. (V)

где SK—функция Гамильтона для одной частицы, N—их число.

Для электронов в магнитном поле функция Гамильтона Ж равна (5.12). Статистический интеграл Z равен произведению N одинаковых шестикратных интегралов, так как все N электронов независимы и тождественны.

Заменим переменные интегрирования рх, ру и pz на

лх = рх + -^Ах, яу = ру + ~Ау; nz = pz + ^Az. (5.14)

При этом dpxdpydpz = dnxdnydnz-, пределы интегрирования остаются прежними, и так как определенный интеграл от переменных интегрирования не зависит, то Z, а следовательно, и свободная энергия JF от магнитного поля H не зависят. В этом случае, согласно (4.5), восприимчивость % равна нулю.

Совершенно аналогично можно показать, что диамагнитная восприимчивость электронного газа, подчиняющегося статистике Ферми, тоже равна нулю. Таким образом, при квазиклассическом рассмотрении электронный газ не обладает диамагнетизмом.

Может возникнуть вопрос, не находится ли этот результат в противоречии с не равным нулю диамагнетизмом атомов (5.5). На самом деле (5.5) получено нами на основании существенно квантового предположения о стационарном состоянии электронов в атоме, не подчиняющихся законам классической статистики.

3. Л. Д. Ландау (1930) показал, что при квантовомеханиче-ском рассмотрении движения свободных электронов в магнитном поле их диамагнитная восприимчивость равна V3 парамагнитной восприимчивости. Этот факт не противоречит предыдущему выводу, так как он связан с квантованием движения свободного электрона в магнитном поле.

Пусть на электрон проводимости, помимо периодического потенциала V (г), действует однородное магнитное поле, направленное по оси г. Вектор-потенциал магнитного поля может быть выбран в форме (5.11). Из (5.12) следует, что уравнение Шредингера имеет вид1)

__(5.15)

1) Уравнение Шредингера получается по известному рецепту: Sfcty = Sty, где Sfc—гамильтониан, получаемый из функции Гамильтона при замене рх на к д §5] ДИАМАГНЕТИЗМ АТОМОВ И ЭЛЕКТРОНОВ ПРОВОДИМОСТИ 36(

= (5.16)

Периодический потенциал кристалла V (г) может быть опущен, если заменить массу свободного электрона т на эффективную массу /ті*. Тогда вместо (5.15) получим

/а ,іенху зч-2т* дх%с J ^ ^ дг2

Так как это уравнение не содержит в явном виде у и г, то ищем решение в виде

гр (jc, у, г) = ц> (х)е{ (куУ+к*гК (5.17)

Подставляя (5.17) в (5.16) и сокращая на экспоненциальный множитель, получим после простого преобразования

+ X0)2 Cp = S1Cp, (5.18)

где

PH he h2ki

"0 = ?, X0=-^ky и S1 = S ~2іФ (5.18а)

Мы видим, что движение электрона вдоль координаты х описывается уравнением Шредингера для линейного гармонического осциллятора с массой т*, собственной частотой ю0 = 2со? (w*L — ларморова частота частицы с массой tn*), колеблющегося около положения равновесия х0. Собственные значения энергии S1 Для осциллятора, аналогично (III.10.4), равны

S1 = S-fS = (N + ^) %c0 = (2N + \)li*H, (5.19)

2m* V 2-

где (X* = {j^j Hb» а собственные функции уравнения (5.18) имеют вид

ехр /jt-jt \ ф (X) =-1 2^k > j Hn [^) , (5.19а)

» ( % \I/a (%с\т где A =Ij^-J = I j?J —так называемая «магнитная длина» !),

a Hn—полином Эрмита N-to порядка.

Выражение (5.17) имеет вид, который на первый взгляд свидетельствует о физической эквивалентности направлений у а г, а не я и у, как это имеет место на самом деле (магнитное поле направлено по оси г). Это обстоятельство связано с тем, что операторы, соответствующие координатам «центра окружности» движущегося электрона (один из этих операторов равен

1 ( x-xq

IO-3

г) Если H выражать в эрстедах, то см. 366 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ, ТЕПЛОВЫЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА

[ГЛ. VI

Jkr0 = — еру/еН), не коммутируют друг с другом1). Более симметричное выражение для волновой функции ч]э(г), хотя и менее удобное для приложений, можно получить, решая задачу в цилиндрических координатах.
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 217 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed