Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
При более высоких концентрациях примесей примесная зона сливается с зоной проводимости, при этом электроны остаются в ней при всех температурах и их концентрация не зависит от температуры. Такие вещества называются полуметаллами. Перекрытие волновых функций электронов на примесях наступает тем легче, чем больше их боровский радиус, т. е. чем больше диэлектрическая постоянная є и меньше эффективная масса электрона т*. Поэтому вещества с большим є и малой т* становятся полуметаллами при сравнительно низких концентрациях примеси; так, в tt-InSb уже при nD& IO18 см~3 все примеси остаются ионизованными при любой температуре, а в п-Ge такой эффект наблюдается только при концентрациях, больших 5-Ю18 см~3. В очень чистых образцах, например в п- и р-германии с концентрацией примесей IO13 см~3, проводимость по примесной зоне не наблюдается и их сопротивление при понижении температуры возрастает в соответствии с уравнением (2.186).
§ 3. Теплоемкость свободных электронов в металлах и полупроводниках
1. При изучении теплоемкости кристаллической решетки (гл. III, § 11) мы уже отмечали то обстоятельство, что металлы при высоких температурах подчиняются закону Дюлонга и Пти 350 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ, ТЕПЛОВЫЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
[ГЛ. VI
и что это находится в кажущемся противоречии с тем, что, согласно классической статистике, свободные электроны должны участвовать в теплоемкости тела. Разрешение этого противоречия заключается в том, что при тех температурах, при которых колебания решетки подчиняются законам классической статистики, свободные электроны металла вырождены и подчиняются статистике Ферми—Дирака.
Рассмотрим теплоемкость свободных электронов металла и их вклад в общую теплоемкость кристалла.
Энергия свободных электронов металла в 1 см3 равна
GD
Є = 2 [ef0(e)g(e)de. (3.1)
Вычислим <8 с точностью до (kuTjt,oy. Для этого надо воспользо-
1 Г(2 m*)3f2~
ваться формулой (2.7а). В нашем случае ф (є) = ^ -
Применяя общий метод, развитый в Приложении :
И/'3 . г
- Є5/2
%3
7, получим
Согласно (2.9), ? само зависит от температуры, так что с интересующей нас точностью
р"-O"['-гШГ^^-^іШ' M
где [ ]5/2 разложена по биному Ньютона.
Подставляя (3.3) в (3.2) (в квадратной скобке в (3.2) можно положить ? = ?„), получим, пренебрегая членами порядка
+S (#)¦]• (3.4)
Теплоемкость
электронов в 1 см3 при постоянном объеме равна
dg V 2 т* 1 дТ 3 >
*klT, (3.5)
т. е. пропорциональна Т.
При абсолютном нуле температуры энергия электронов
что совпадает с (П.4.5). Теплоемкость при абсолютном нуле
6^ ^ (41") в соответствии с теоремой Нернста.
Выражение (3.5) имеет наглядный смысл: в тепловом возбуждении участвуют только электроны в узком слое энергии k0T $3]
ТЕПЛОЕМКОСТЬ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
351
вблизи энергии ?0 и их число порядка g(t0)k0T; каждый из этих электронов вносит в теплоемкость вклад порядка k0, поэтому их полная теплоемкость ~g{Za)klT, что по порядку величины совпадает с (3.5).
Оценим отношение теплоемкости электронов (3.5) к теплоемкости 1 елі3 решетки. Так как в металле концентрация электронов п порядка числа атомов решетки в 1 см3, то теплоемкость 1 см3 решетки при высоких температурах порядка nk0, а интересующее нас отношение
т*3'ЧЪ/2 k0T и Т
—R—" TT' <3'6»
где мы п подставили из (2.8). Так как ?0 порядка нескольких электрон-вольт, a k0T при комнатных температурах да0,03 эв, то отношение (3.6) порядка долей процента. Этим объясняется практическое неучастие свободных электронов в теплоемкости металла в широкой области температур.
При низких температурах теплоемкость решетки убывает как T3 (III.11.17), т. е. быстрее (3.5), поэтому ниже некоторой температуры T0 теплоемкость свободных электронов больше теплоемкости решетки. Температуру T0 можно определить, приравнивая теплоемкость электронов (3.5) теплоемкости решетки (II 1.11.17) (если отнести ее к 1 см3 кристалла).
2. Теплоемкость невырожденного электронного газа, концентрация которого п не зависит от температуры, может быть вычислена, если в формулу (3.1) подставить вместо /0(е) функцию распределения Максвелла —Больцмана (2.11а). Простой расчет приводит в этом случае к хорошо известному результату:
Cv = 3IiHk0. (3.7)
Интереснее вычислить теплоемкость свободных электронов (дырок) в случае невырожденного полупроводника, когда их число зависит от температуры. На первый взгляд кажется, что если энергия активации электронов порядка kBT, то электронная теплоемкость может быть сравнима с теплоемкостью решетки. Рассмотрим для примера собственный полупроводник с шириной запрещенной зоны е0. Энергия электронов и дырок в 1 см3 равна
00 00
? = 2 S є/„ (є) g (є) de + 2 5 (є' + е0) fo (є') g (є') de', (3.8) 0 0
где первый интеграл относится к электронам, второй—к дыркам. Заменяя /0 (є) и /о (е') классическими функциями распределения, 352 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ, ТЕПЛОВЫЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА [ГЛ. VI
3 ё(г) и g (е') выражением (2.4), получим
__3/2
212 00 +?? ехр ехр S ехр (-?) (e'+e0)»'4fe\
