Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
W0Ф„ = [(Л/ — 1) є0 + E1] Фп. (3.18а)
Энергия кристалла в этом приближении равна S ф\#0ф' dx=2 S CmCn J ФЖФ„ dx=
т п
= [(JV-1) B0 + B1J SS =[(^v-1) е.+ B1JSicbI' =
т п п
= (N-l)e0+elf (3.19) если нормировать на единицу волновую функцию Ф', т. е. положить
SlCJ2=I. (3.19а)
1) Смирнов В. И,—т. 3, ч. I, § I. 324 ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОНА [ГЛ. v
Гамильтониану (3.10) соответствует уравнение Шредингера
[#0 + V(l,2, = (3.20)
Подставим сюда вместо приближенную волновую функцию Ф' (3.17). Учитывая (3.18а), получим
2 Cn {[(Л -1) S0+S1] Ф„+^Ф„} = W 2 Cn Фп.
п п
Умножая слева обе части равенства на Ф*, интегрируя по координатам всех электронов и учитывая (3.16), получим
2 CnVmn-SrCm = 0, (3.21)
л= 1
где
Утп=ІФ*тУФпсІт, (3.21а)
S' = W — [(N— 1) е0 -Ь E1]. (3.216)
Линейная однородная алгебраическая система N уравнений для N неизвестных коэффициентов Cn (3.21) в развернутом виде имеет вид:
(Уи —S') C^V12C, +... +VinCn = O,
V21C1 +(Vs2-Sr) C2+...+V2nCn = 0, (321в)
VmC1 + Vn2C2 +... + (Vnn-S') Cn = 0.
Для того чтобы эта однородная система имела решения, отличные от нулевых, необходимо положить ее определитель равным нулю:
(Vil-S'). Vla ... Vin
K2I, (V12-Sr) ... V2n
VM. Vn2 ... (Vnn-S')
¦ 0. (3.22)
Это характеристическое уравнение N-й степени относительно Sr определяет в первом приближении спектр экситонного возбуждения кристалла. Мы определим спектр экситона, воспользовавшись следующим не строгим, но наглядным приемом. Аналогично случаю сильной связи в одноэлектронном приближении (гл. IV, § 7), коэффициенты Cn, учитывающие трансляционное вырождение, можно положить
С„ = С0е'*Ч (3.23)
где k — волновой вектор квазичастицы-—экситона. В этом случае из уравнений (3.21) следует
$> ^Vm =^eik (an~am) Vmn- (3.24) §4]
ПОЛЯРОНЫ
325
Так как матричные элементы Vmn, аналогично стоящим перед ними множителям, зависят только от разности (ап—ат), то можно без ограничения общности положить ат = 0, так что
S1=Sei^nVan. (3.24а)
п
Учитывая в простой кубической решетке только шесть ближайших соседей (/г== 1, 2.....6) и полагая для них одинаковые
V0n = -V0, получим аналогично (lV.7.10a)
S' = — 2У„ (cos akx + cos aky + cos ak2). (3.246)
Таким образом, в приближении сильной связи экситонное возбуждение в простом кубическом кристалле определяется энергетической зоной (3.246), подобной (IV.7.10а).
Аналогично зависимости (IV.7.12) и (IV.7.13) мы можем определить эффективную массу и скорость экситона:
m*3KC = /bV2V>2, (3.25)
»экс = [sin akx i0 + sin CLkJ0 -f sin ak2k0\
Волновая функция экситона
.N
= (3.26)
где из условий нормировки (3.19а) мы положили C0 = MVN. Это выражение напоминает одноэлектронную волновую функцию в приближении сильной связи (IV.7.2а).
Величина V0 того же порядка, что и А, входящая в выражение (IV.7.12), поэтому эффективная масса экситона, вообще говоря, того же порядка, что и эффективная масса электрона и дырки.
§ 4. Поляроны
1. В ионных кристаллах могут реализоваться особые состояния электронов проводимости, впервые подробно изученные С. И. Пе-каром (1946), которые он назвал поляронами.
Поляроны возникают в результате, поляризации ионной решетки электроном проводимости. Эта поляризация кристалла вызывает понижение энергии электрона, т. е. приводит к возникновению в области нахождения электрона потенциальной ямы. Состояние электрона проводимости, локализованного в этой потенциальной яме, описывается затухающей волновой функцией. Таким образом, возникает самосогласованное состояние: локализация электрона вызывает поляризацию кристалла, а последняя поддерживает локализацию электрона. Конечно, это автолока- 326
ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОНА
[ГЛ. V
лизованное состояние электрона может свободно перемещаться по всему кристаллу.
Если размеры Up-облака электрона в поляронном состоянии велики по сравнению с постоянной решетки (поляроны большого радиуса), то ионный кристалл можно описывать как непрерывную диэлектрическую среду (континуум).
Необходимо иметь в виду, что в образовании поляронного состояния участвует не полная поляризация кристалла, а только ее инерционная часть. В самом деле, поляризация электронных оболочек ионов, безынерционно следующая за движением электрона проводимости, входит в самосогласованный периодический потенциал, действующий на электрон1). Потенциальная яма поляронного состояния обусловливается только инерционной частью поляризуемости—смещением тяжелых ионов.
2. Рассмотрим так называемые поляроны сильной связи2). Самосогласованное состояние электрона проводимости в поляронном
состоянии определяется из следующего уравнения Шредингера: v^ ^ + (г> + 4 *(r) = ** <'r^¦ (4 •1)
Здесь V (г) — периодический потенциал кристалла, cU (г)—энергия электрона в поле поляризованного им самим кристалла. Для поляронов большого радиуса можно опустить периодический потенциал V (г), заменив одновременно массу свободного электрона т на его эффективную массу т*\ тогда
