Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Используя выражение (4.15) для Ip0 и (4.6) для можно показать, что2)
^cp ш = ^c0P = V3 S0, (4.17)
^r [VI = V3 S0; (4.18) как следует из (4.3) и (4.13),
«?М = сГ + %v, (4.19)
-IrW = Jr+1/,^, (4.20)
где с?Г =^^5^(71)))2^—кинетическая энергия электрона.
С другой стороны, энергия инерционно поляризованного кристалла равна
(4-21)
что для основного состояния дает
ад.]=W,=-•/,#.. (4-21а)
При тепловой диссоциации полярона последний распадается в результате тепловой флуктуации поляризационной ямы, поэтому энергия активации равна сумме —S0 и —Ч1°р, т. е.
Wr =-S0%l = - S0 + V3 So = -1I3Sо = - Ш- (4.22)
1J В дальнейшем индексом нуль мы будем отмечать величины, относящиеся к основному состоянию полярона.
2) П е к а р С. И. Исследования по электронной теории кристаллов.—
M.: Гостехиздат, 1951. 330
ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОНА
[ГЛ. V
Красная граница фотодиссоциации полярона определяется энергией, необходимой для перехода электрона из основного состояния —^1B нижний край зоны проводимости при неизменной конфигурации ионов (принцип Франка—Кондона), т. е.
Wph = -?0 = 3WT. (4.22а)
Подчеркнем, что выведенные выше соотношения
имеют место только для поляронов сильной связи.
Основное состояние полярона сильной связи может быть приближенно определено следующим простым способом. Минимальная кинетическая энергия электрона с массой т* в сферической полости радиуса г с непроницаемыми стенками равна 1J
ТГ2Й2
^r = SW- (4-23)
Потенциальная энергия взаимодействия этого электрона с инерционно поляризующимся континуумом, порядка
^cp « . (4.24)
Минимум полной энергии <§ = 3~ jTcUcv в зависимости от г равен
1 mV -0,051 -^f- (4.25)
при
п22е*ф ' 8*Ф
г0 = п*-^. (4.26)
Сравнивая выражения (4.25) и (4.26) с выражениями (4.16) и (4.15а) видим, что приближенный расчет практически приводит к тем же формулам, что и вариационный метод (отличие только в численных множителях).
Для того чтобы реализовались поляроны сильной связи, необходимо чтобы движение электрона в поляронной яме было быстрым по сравнению с движением тяжелых ионов (адиабатическое приближение), т. е.
где V—скорость электрона, со—предельная частота колебаний ионов оптической ветви. При этом для электрона в основном состоянии длина волны де Бройля (к = X/2л) равна
I, (4.28)
*) См. ссылку на стр. 310. §4] ПОЛЯРОНЫ 331
где I — путь, проходимый электроном за время одного колебания ионов. Кинетическая энергия электрона
Jr0 = V2 m*v2. (4.29)
Исключая из неравенства (4.27) v и г0 посредством (4.29), (4.23) (для г = г0) и (4.26), получим
1 mV 1 2lf.l>lf (4.30)
Л3 є*2й2 Аы я 1т
что совпадает с обычным условием применимости адиабатического приближения (энергия быстрой подсистемы много больше энергии медленной подсистемы). Вводя безразмерный параметр
•,.«- "2IgQl _ «*е* (4.31)
1ш 2є*Фа
получим для энергии основного состояния поляронов сильной связи
<?„ = -Jr а2Ла «--аЯт (4.32)
при условии
а» 1. (4.33)
Таким образом, в этом случае энергия пропорциональна сса. 3. Рассмотрим теперь другой предельный случай—поляроны слабой связи (Г. Фрелих, Г. Пельцер, С. Зинау, 1950), когда параметр
а Cl. (4.34)
Определим в этом случае влияние взаимодействия электрона с поляризованным им ионным кристаллом на энергетический спектр электрона.
Рассмотрим длинные оптические волны в бинарном ионном кристалле в континуальном приближении (гл. III, § 9, п. 2). Из (II 1.9.37) видно, что электрическое поле E в кристалле вызывается только продольными колебаниями W1; это представляется естественным, так как только при продольных колебаниях происходит изменение объема кристалла, в результате чего возникает в нем связанный электрический заряд.
Подставляя E из (III.9.37) в (III.9.32), получим для вектора поляризации
= (4.35) 332
ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОНА
[ГЛ. V
Как мы увидим ниже, с электроном взаимодействуют только продольные колебания, поэтому в (4.35) на самом деле W1 = W. Здесь N0— число кристаллических ячеек в единице объема, приведенная масса ионов тг = т+т_!(т+ +m_), (S)1 = (е0/еооУ/'(й0—
предельная частота продольных оптических колебаний, ^e =
1 1
=---, где Soo и S0 — высокочастотная и статическая диэлектри-
Єто Є о ___
ческие постоянные, W = VN0tnrs = VN0tnr(u+—и_), где S = = и+ — и_—смещение положительного иона относительно отрицательного. Считая для положительного и отрицательного ионов k= \ и k = 2, имеем из (III.6.4) в континуальном приближении
(«» = г)
и" (г) = ? eJk (q) aj (q, t) e«'. (4.36)
V N0Hlk qj
Для длинных оптических волн (q —* 0) векторы поляризации ejk вещественны и ионы колеблются относительно неподвижного центра тяжести ячейки, т. е.
]/^eyi + V'"m2e/2 = 0, (4.37)
как это следует из (II 1.5.22).
С другой стороны, условие нормировки (II 1.6.2) имеет ВИД
е% + е%=1. (4.38)
Из (4.37) и (4.38) следует, что
е = і е = - Vr—i„ (4.39)
J1 У mi+ /я» J' ^2 V mi+/л, J' v '
где Ij — единичный вектор, параллельный е,х. Из (4.35), (4.36) и (4.39) следует, что
