Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
у 4яе* ' J
' 4.1
(а1де">г+а'ме-{<1г), (4.40)
где мы в члене k = 2 заменили суммирование по q на суммирование по —q и использовали (III.6.5).
Уравнение Пуассона для скалярного потенциала Ф, связанного с колебаниями кристалла, имеет вид
у2Ф = — 4яр = 4 ndwP =
-^r- S ('/- q) (aiqe«'-a)q е~'<"), (4.41)
Я'і
где связанный заряд р=—div/*1). Из этого выражения мы видим, что электрическое поле создается только продольными ко-
1J Тамм И. E., гл. 2.§4] ПОЛЯРОНЫ 333
лебаниями, для которых lj\q и, следовательно, (tf, q) = q (в дальнейшем мы для продольных колебаний опустим индекс j). Уравнение (4.41) имеет решение
ITi E 7 (V^-flJe-'""), (4-42)
в чем можно убедиться, непосредственно подставив (4.42) в (4.41). Так как выражение в круглых скобках под знаком суммы чисто мнимое, то, как и должно быть, потенциал Ф веществен.
Для определения вероятности перехода электрона, связанного с поглощением или испусканием фонона, надо вычислить соответствующий матричный элемент перехода от энергии возмущения (—еФ). Для этого достаточно описывать состояние электрона плоской волной
= (4.43)
где k—волновой вектор электрона, a V=I см3 — объем основной области.
В матричном элементе <Nq, к'\ — еФ\Ыч, k> можно провести отдельно интегрирование по координатам электрона, тогда для первой экспоненты в круглой скобке в (4.42) получим
I Je* (* + ,-*') г dr = 6*., k + q,
V
что выражает закон сохранения волнового вектора электрона при поглощении фонона:
k' = k + q. (4.44)
Для второй экспоненты в круглой скобке, связанной с испусканием фонона, получим
k' = k—q. (4.44а)
Матричные элементы от aq и a*q, связанные с поглощением и испусканием фонона, согласно (III.10.25), (3.10.26) равны
<Щ I ая INч> = )/"?- , если N4 = N4-1 (4.45) и _
<N'q\a'q\Nqy = yt{N2lJl) , если Nq = Nq+1. (4.45а)
Таким образом, для интересующего нас матричного элемента получим
<N'g, k' 1—еФ| Ng, k> = <Nq-Fl, k±g\—eQ>\Nq, k> =
Г 4яе*Яш, і j VrNqt
= ±ьУ -Г-j.yyдг^ (4.46)334
локализованные состояния электрона [гл. v
где верхние знаки (и строка) соответствуют поглощению, а нижние— испусканию фонона.
В результате взаимодействия электрона с поляризованным им кристаллом изменяется его энергия. В случае слабого взаимодействия (а Cl) эт0 изменение может быть определено посредством квантовомеханическойтеории возмущений. Изменение собственного значения энергии п-го квантового состояния системы, в первом и втором приближениях по энергии возмущения Ж' равно1)
?n-<§T = <n\SV'\n>+L 'Г'2 . (4.47)
тфп
т
Здесь ^0' и Sm— невозмущенные энергии tl-TO и т-го состояний.
Рассмотрим изменение энергии свободного электрона е(0) = = fok*/2m* при взаимодействии его с поляризованным кристаллом. Если абсолютная температура кристалла равна нулю (N9=O), то электрон может только испускать фононы (Nrq = = N,+1 = 1; ft'= Ar—q). Так как при Nrq = Nq матричный элемент (4.46) равен нулю ( <« \Ж' \п > = 0), то энергия электрона изменяется только во втором приближении теории возмущений. Из (4.47) и (4.46) следует, что
е(ft)_в«» = у К ft—gl—еФ I о, ft>|2
v > L+ hw ti2 (ft—о)2 i-4 ъ^г----Kal
2т* 2т* __2пег%(і>і P dxq і__J_
- е* J (2Я)» q*. р ' (4.48)
где мы перешли от суммирования по q к интегрированию. Промежуточному СОСТОЯНИЮ т соответствует фотон K(S)1 и волновой вектор электрона ft'= ft—q\ напомним, что при переходе из основного состояния п в промежуточное т закон сохранения энергии, вообще говоря, не выполняется.
Введем в интеграле полярные координаты с осью, направленной вдоль k{dxq = 2nq2dqs'mb db\ kq = kq cos ft), и разложим подынтегральное выражение в ряд по степеням k, до /г2 включительно. Интегрирование по ft первого слагаемого (не зависящего от k) дает множитель 2, второго слагаемого (пропорционального k)—множитель нуль и третьего слагаемого (пропорционального k2) — множитель 2/3. В результате интегралы по q от 0 до оо от первого и третьего слагаемых сводятся к интегралам
х) Ландау JI. Д., Лнфшиц Е. М. Квантовая механика, § 38.§4]
ПОЛЯРОНЫ
335
от рациональных дробей; они вычисляются элементарно или могут быть взяты из таблиц1).
В результате из (4.48) мы получим
.?)-?^-.^+?,)-^+^. (4.49,
где эффективная масса полярона
'Про. «•(!+!¦). (4.49а)
1 ~~ б"
Здесь а—параметр, введенный в (4.31).
Мы видим, что для полярона слабой связи уровень энергии основного состояния понижается на величину a его эф-
^pol OL
фективная масса тро1 увеличивается в отношении -^r- ж 1 .
Типичные значения а для полупроводников с частично ионной связью меньше единицы. Для соединений aii1Bv OL лежит в пределах от 0,015 (InSb) до 0,080 (InP), для соединений АцВуї— от 0,39 (CdTe) до 0,65 (CdS). При вычислении а для этих соединений были использованы малые эффективные массы электронов т*. Для щелочно-галоидных кристаллов а>1; например, для LiI а = 2,4, для RbBr а = 6,6, при вычислениях для электрона была использована масса свободного электрона (т = = 0,9-IO-27 г). Поскольку мы пользовались как в случае сильной, так и слабой связи континуальным приближением, изложенные выше соображения относятся только к поляронам большого радиуса, когда радиус полярона больше (точнее много больше) постоянной решетки.