Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
-IJs V2^ + eU (г) Ч> = (4.2)
Уравнение (4.2) может быть получено из вариации функционала
j (WdT+j Wdt (4.3)
при дополнительном условии нормировки3)
JipdT=I. (4.4)
В самом деле, вычтем из (4.3) выражение (4.4), помноженное на неопределенный множитель Лагранжа К. Варьируя полученное выражение по ^ и приравнивая нулю, получим
J^i j*2 (VijJ'V бф) dT + J ^2^ 6г|> йт—J S^dT = O,
где было использовано, что =
1J П е к а р С. И. Исследования по электронной теории кристаллов.—M.: Гостехиздат, 1951.
2) См. там же, а также сб. Поляроны./Под ред.'Ю. А. Фирсова.—M., 1975.
3) Мы рассматриваем только основное состояние полярона, для которого
волновая функция я|) вещественна, поэтому |i|)|2 = i|;a. §4]
ПОЛЯРОНЫ
327
По теореме Грина
$ б-ф> dx = —^ бт|з ТЧ dx + j) 6т|) V^ dS.
Последний интеграл по поверхности исчезает при стремлении поверхности 5—>оо, в силу быстрого убывания ф на бесконечности.
Таким образом,
6г|> dx = О,
что при произвольности 6т|> и отождествлении К с S совпадает с выражением (4.2).
В некоторых случаях для приближенного решения уравнения Шредингера (4.2) удобнее пользоваться вариационным принципом, т. е. функционалом (4.3). Это может быть сделано в тех
случаях, когда нам из физических соображений известен общий вид волновой функции. Задавая волновую функцию в виде (г; oj, а2, . ..), где O1, а2, ... —неопределенные пока параметры, можно вычислить посредством (4.3) энергию S как функцию alt а2, ... Находя минимум ?(а1Уа2, ...) в зависимости от параметров oj, а2, ..., мы определим наилучшее собственное значение энергии, соответствующее выбранному виду волновой функции. При этом, даже при весьма грубой аппроксимации волновой функции, собственные значения находятся часто довольно точно.
Усредненная энергия взаимодействия электрона с поляризованным кристаллом, входящая в (4.3),
^cp=S eUVdx (4.5)
может быть для диэлектрического континуума определена следующим образом.
Вектор электрической индукции, обусловленный распределенным зарядом электрона е | (r') |2 dx', равен
D (г) =ej|t|,(r') р TT=TFl5 dT' (4'6)
и, конечно, не зависит в однородном диэлектрике от диэлектрической постоянной. Энергия диполя с моментом р в поле Е, как известно, равна — (рЕ). Энергия диполя P(r)dx, где P—вектор поляризации кристалла, в электрическом поле заряда е 1(r') |2 dx' равна
-P(r)dxe\Tp(r')\*dx'{rr-rr,\3 . (4.7)
Интегрируя (4.7) по всем элементам поляризованного кристалла dx и всем элементам распределенного заряда dx', получим
=- е JJ P (г) IФ (О р JZf']3 d^ dx' = -^D (г) P (г) dx. (4.8) 328
ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОНА [ГЛ. V
Появление в этом выражении D вместо напряженности поля E связано с тем, что (4.7) есть энергия диполя Pdx в поле заряда е I if I2 dx' в пустоте, независимо от поля, создаваемого всеми другими свободными и связанными зарядами в кристалле. Подставляя выражение (4.8) в (4.3), получим
* W = & j ^2 dx- J W dx¦ (4'9)
Мы должны теперь учесть, что P является не полной поляризацией P0, а только ее инерционной частью.
Если є — полная диэлектрическая постоянная ионного кристалла, то
<4Л0>
Поляризация Pe, связанная с деформацией электронных оболочек ионов, когда они находятся в равновесных положениях, безынерционно следующая за движением электрона проводимости, равна
Pe=n^D, (4.11)
с
где п—коэффициент преломления в длинноволновой области. Таким образом,
P = P0-Pe = ^D, (4.12)
где
-^=^4- (4Л2а)
Величина е* играет роль эффективной диэлектрической постоянной, входящей в теорию поляронов.
Заметим, что в соответствии с вариационным принципом минимум функционала ^fip] (4.3) надо искать, варьируя в постоянном поле iU, т. е. при P = const. После этого P определяется из уравнения (4.12) через соответствующее (4.6). Легко
показать, что тот же результат получится, если заменить в выражении (4.9) P согласно (4.12), но приписать интегралу множитель V2- Мы получим вместо (4.9) функционал
3 №= ш j (dx- Ш* fD% № dx¦ (4 •13^
Отсюда совместно с условием нормировки (4.4) может быть определена волновая функция основного состояния полярона а|з0 И соответствующее ей собственное значение энергии SSS S [^ol-В качестве пробной функции основного ls-состояния полярона Пекар берет выражение
t = Л(1 +ar+?r2)e (4.14) §4] ПОЛЯРОНЫ 329
где а и ?— вариационные параметры, а А—-нормировочная константа, которую можно выразить через них.
Подставляя выражение (4.14) в (4.13), вычисляя интегралы и минимизируя полученное выражение по а и ?, получим
¦ф0 = 0,12ос'0/' (1 + a0r + 0,4 5а2г2) е-«.', (4.15)
где
а =_L = 0,66?^ (4.15а) 0 'о %Ч*
— обратный радиус полярона 1J.
Из уравнений (4.9), (4.12) и (4.6) получим для собственного значения энергии основного состояния полярона выражения
(4.16)
її є
что может быть сравнено с основным термом атома водорода
—0,5, (/пе4/Ф), где т — масса свободного электрона. Обычно
и так как е*>1, то ^e значительно меньше энергии ионизации атома водорода (13,5 эв).
