Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
экситоны
321
боровскому радиусу атома водорода равен (— ) е0=0,53 ('-
те* \ /х j " ' V (і j Xe0A, где tri—масса электрона в вакууме. Мы видим, что экситоны больших радиусов образуются в кристаллах с большой диэлектрической постоянной е0.
2. Экситоны малого радиуса могут быть описаны в приближении сильной связи (Я. И. Френкель, 1931). Мы воспользуемся методом Хартри — Фока. В качестве исходных одноэлектронных функций выберем волновые функции электронов в изолированных узлах решетки. Рассмотрим для простоты простую кубическую решетку из одинаковых атомов с одним электроном, и пусть основное невозбужденное состояние /-го электрона в изолированном п-м узле описывается уравнением Шредингера
ж Mrl) =^nirl)- (3-7)
Здесь
Wn =-^tl +VJrl), (3.7а)
где — оператор Лапласа для I-го электрона, а Ч1п(г{)— его потенциальная энергия в n-м изолированном узле решетки и е0 — энергия основного состояния.
Пренебрежем для простоты перекрытием волновых функций даже соседних узлов, тогда аналогично (IV.2.7)
S Гп (l)Vn'(l) dt, = 6nnS (3.8)
где I стоит вместо T1 и dxt = dxt dyt dzt. Предположим, что спины всех электронов параллельны, что, очевидно, не существенно, если мы не интересуемся магнитными свойствами системы, вопросами ковалентной связи в решетке и т. п.
Если не учитывать спин-орбитального взаимодействия, так что полная волновая функция может быть представлена в виде произведения координатной части на спиновую, то в силу симметрии последней в нашем случае координатная часть волновой функции должна быть антисимметрична. Правильная антисимметричная волновая функция всего кристалла, построенная на одноэлектронных функциях гр„(/), имеет вид определителя (IV.2.86):
¦Фі(і) ti (2) ... фі (n)
Ф(1, 2, ..., N)
V~№
IlW(I) 1|W(2)...1MJV)
(3.9)
если в основной области кристалла имеется N узлов.
Используя (3.8), легко показать, аналогично (IV.2.8а), что
5 Ф*(1, 2.....ЛГ)Ф(1, 2.....N)dx1dx1 ... dxN = J Ф*Ф<*т= 1
(3.9а)
(dr з= Chr1 dx2 .. . dxN).322 локализованные состояния электрона [гл. v
Гамильтониан системы всех N электронов
St= yZ^n + V{\,2, ..., N), (3.10)
/;= 1
N
где 2 = Ж0— невозмущенный гамильтониан (можно, напри-
мер, считать Жп = + % (О). а 2, ..., AZr) включает
взаимодействие всех электронов между собою и энергию каждого п-го электрона в поле всех других т-х узлов решетки (тфп). В нулевом приближении энергия системы
S0 = \®*§ea®dx = Nza, (3.11)
что непосредственно следует из выражений (3.9), (3.7) и (3.8).
Поправка к энергии основного состояния в первом приближении теории возмущений равна
=J (DtWDdt. (3.12)
Обозначим волновую функцию возбужденного состояния /-го электрона у п-то узла через тогда
ад;(3.13)
где E1 — энергия возбужденного состояния электрона в изолированном узле.
Будем считать, что возбужденные волновые функции данного узла также не перекрываются с волновыми функциями соседних узлов; кроме того, для данного п
J ^dr = Ot (3.14)
так как возбужденное состояние ортогонально к основному о|>„.
Волновая функция электронов в кристалле, у которого возбужден п-й узел, обладающая правильными антисимметричными свойствами, имеет вид
Ф„(1,2.....N):
Ih(I) .. • ?1 (<V)
Ч>«( 1) .. (3.15)
¦ .. ^n(N)
Используя (3.8), в котором для пфп' волновые функции могут относиться и к возбужденным состояниям, и (3.14), легко показать, что
Io^dxl... dxN = 6m. (3.16)§3] экситоны
323
Выражение (3.15), в противоположность (3.9), не является еще правильной волновой функцией нулевого приближения для возбужденного кристалла. В самом деле, в силу трансляционной симметрии возбуждение может быть локализовано на любом узле решетки, при этом энергия кристалла остается неизменной. Таким образом, состояние является /V-кратно вырожденным и правильная волновая функция нулевого приближения должна быть построена в виде линейной суперпозиции:
Ф'0,2.....Л/)=2СПФ„ (1,2, ..., N), (3.17)
П— 1
где Cn — постоянные коэффициенты, которые должны быть определены по общим правилам теории возмущений вырожденных состояний (ср. с гл. IV, § 7, п. 2).
N
Вычислим действие невозмущенного оператора^ = ^W1(I) на функцию Ф„(3.15): i=1
W0On = [ W1 (1) + W2 (2) ¦+ ... + W1 (I) + ... +Wn(N)] X
X /Ж 2 (- 1) MP tt>i (Pi) - • • % (Pn) • • • ^n (Pn)К (3-18) р
где P1, р2, ..., рп.....pN—числа 1, 2, 3, ..., N, расставленные
в некотором порядке. Определитель (3.15) записан здесь в виде суммы, в которой суммирование распространяется на всевозможные перестановки чисел P1, р2, ...,рп.....pN, а [р] обозначает
число беспорядков в этой перестановке1).
Следует различать два случая действия одного из операторов W1 (I) (/= 1, 2, 3, ..., N) на произведение одноэлектронных функций {^1 (Px)-• -1I^(Pn)-• -1I5JV(P;v)}: 1) Pn = 1', тогда действие оператора, согласно (3.13), сводится к умножению { } на ех; 2) рпф /; тогда действие оператора, согласно (3.7), сводится к умножению { } на е0. Так как второй случай для каждого / может реализоваться N—1 способом, то