Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Из опыта известно, что в германии одновалентные Cu и Au могут присоединять 1, 2 и даже 3 электрона, а двухвалентные Zn и Cd могут присоединять 1 или 2 электрона.
Отметим, что количественная теория глубоких примесных уровней до настоящего времени не развита.
4. Быть может наиболее простым видом локализованного возмущения периодического поля идеального кристалла является его поверхность. Связанные состояния электронов на свободной
р—О. г
И (г) =-A^r-
(2.7)
*) Ширина запрещенной зоны в кремнии при 300°К равна 1,12 эв. 316
ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОНА
[ГЛ. V
поверхности кристалла были впервые предсказаны и теоретически рассмотрены И. Е. Таммом (1932) и получили название там-мовских поверхностных состояний. Экспериментально их существование было подтверждено при изучении контактных явлений в полупроводниках.
Мы рассмотрим поверхностные состояния на простейшей модели одномерной ограниченной кристаллической решетки (рис. V.2),
которая приближенно описыва-ет положение в трехмерной ре-
%
шетке, если интересоваться только направлением, перпендикулярным к свободной поверхно-
сти кристалла. Пусть кристалл заполняет пространство при х ^ ^ 0, где потенциальная энергия Рис. V. 2. электрона cU(X)— периодическая
функция с периодом постоянной решетки а. Слева от свободной поверхности кристалла при х^О в вакууме потенциальная энергия электрона cU (х) имеет постоянное значение cIL0.
Уравнение Шредингера для одномерного движения электрона в поле eU (х) имеет вид t
Рассмотрим случай S < Ч10-, тогда решение (2.8) для л: < 0 имеет вид (X) = Aexp (-^BLx), (2.9)
в этой формуле мы отбросили слагаемое, пропорциональное exp ^--- 2т ^f0 x^j , так как оно стремится к бесконечности
при х-*¦—оо. Для х^О Ч1(х) — периодическая функция и, следовательно, волновая функция имеет вид блоховской функции uk (х) exp (ikx). Для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка наиболее общее решение может быть сконструировано из двух линейно независимых решений, например
^2(X) = A1Uk (x)e^x + A2u_k(x)e'ikx. (2.10)
Разрешенным значениям энергии электронов S (k) в бесконечной периодической решетке соответствуют вещественные значения волнового числа (вектора) k. В самом деле, если k комплексно,
Т. е. k = k' jT ik", ТО
% (х) = AlUk (х) eik'xe-h"x + Azu_k (х) e~ik'xek"x. (2.11) § 2] СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОНА В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ 316
Совершенно ясно, что в зависимости от знака k" либо первое, либо второе слагаемое будет стремиться к бесконечности при стремлении X К +00 или —оо. Если потребовать конечности волновой функции Ifi2, то в неограниченной решетке электрон не может существовать в состоянии с комплексным к.
Иная ситуация возникает в решетке, ограниченной хотя бы с одного конца (см. рис. V.2). Если, например, k" > 0, то для того, чтобы "ф2 (л:) оставалось конечным при х—с +оо, достаточно в (2.11) положить Л2 = 0; для отрицательных же значений х имеет место другое решение (2.9), конечное при X—>—оо.
Для того чтобы ip1 (я) и гр2 (я) описывали одно определенное состояние электрона, необходимо «сшить» решения IjJ1 (х) И "Фа (х) при д; = 0, т. е.
4.,(0) = +,(0), (2.12)
Используя решения (2.9) и (2.10), получим
A1Uk(O)+ А2и_к(0) = A, _
A1К (O) + Ikuk (0)] + A2 К (0)-iku_k (0)] - А Ґ2т(К0-?) _
(2.13)
Если k вещественно и, следовательно, <§ (k) лежит в пределах одной из разрешенных энергетических зон безграничного кристалла, то ip2 для A1Ф 0 и А2Ф 0 при х—»-оо конечно. В этом случае два линейных уравнения (2.13) для трех неизвестных A1, A2 и А всегда имеют решения. Следовательно, все состояния электрона, разрешенные в безграничном кристалле, могут осуществляться и в полуограниченном.
Если же k комплексно и ему соответствует энергия <§(k) в запрещенной зоне безграничного кристалла, то для того, чтобы ф2 оставалось конечным при х—»-оо, достаточно положить (если k" > 0) A2 = 0. В этом случае (2.13) превращается в однородную линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными A1H А. Для того чтобы эта система имела решения, отличные от нулевого, необходимо, чтобы ее определитель равнялся нулю, что приводит к некоторому характеристическому уравнению, определяющему энергию <?. Это значение энергии может быть определено так: положим в (2.13) Л2 = 0, подставим A = A1Uk (0) из первого уравнения во второе и сократим последнее на A1, тогда
где
k-=k' + ik"(k" >0). 318
ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОНА
[ГЛ. V
Значение энергии (2.14) зависит от вида периодического потенциала cVi(X) для jc^O. И. Е. Тамм показал, что если периодический потенциал cU(X) аппроксимировать прямоугольными выступами (модель Кронига и Пенни), то при определенных условиях в каждой запрещенной зоне энергии имеется один поверхностный уровень. Волновая функция электрона, находящегося на этом поверхностном уровне, экспоненциально спадает как в вакуум (2.9), так и внутрь кристалла (2.11), гдеЛ2 = 0. Таким образом, электрон, находящийся на поверхностном уровне, локализован вблизи поверхности; так как он может перемещаться вдоль поверхности, то имеет место дополнительная поверхностная проводимость.
