Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
— _A і P*k2
^3 ~~ ^ 2m З(є0 + Д)'
. Pk2 , P-k2 f 2 , 1
6C==sO+-^ + -
(13.36)
2m 1 3 \ e0 1 є0+Д,
Мы можем отождествить evl и ev2 с зонами тяжелых и легких дырок, ev3 с ветвью легких дырок, отщепленной в результате спин-орбитального взаимодействия, и ес с ветвью электронов в зоне проводимости.
Следует сразу же отметить, что выражение для evl не может быть верным, так как оно не имеет даже правильного знака (энергия дырок отрицательна), что свидетельствует о том, что двухзонное приближение, учитывающее только валентную зону и зону проводимости, недостаточно для интерпретации ветви тяжелых дырок; в этом случае необходимо учитывать выше-и нижележащие зоны.
Так как эффективная масса электрона в зоне проводимости почти в 100 раз меньше массы свободного электрона т, то в выражении ес слагаемое, пропорциональное P2, примерно в 100 раз больше слагаемого ft2k2/2m, т. е. безразмерное отношение P2m/A2eG очень велико —100).
Если нам известны величины е0 и А, то из сравнения с опытом можно определить постоянную P2.
Используя то, что P2m/A2e0;3> 1, получим из (13.36)
, РЧ» / 2 , 1
3
Ve0 80+ Д/
Из этих выражений мы видим, что эффективные массы легких частиц по порядку величины равны %2е0/Р2.
Если A ^>kP и е0, то уравнение (13.35а) тоже может быть упрощено; разделив обе части его на А и пренебрегая в нуле-
1J В нулевом приближении пренебрегаем в (13.35а) слагаемым, пропорциональным k2P2, и затем ищем поправки порядка k2. § 14] СИММЕТРИЯ, СВЯЗАННАЯ С ОБРАЩЕНИЕМ ВРЕМЕНИ 391
вом приближении величинами е0/Д и k2P2/А, получим в нулевом приближении три корня Eo1 = Eo2 = O1 Єй = — А; вводя малую поправку I и полагая е[ = е2= г'3 = — А +1, получим из (13.35а)
_fak2 е0—(ео+8РаР/3)1/2 %2 - 2m + 2
= + (13.366)
_%2k2 ea+(eb + &P2k2?yi2 Вс ~ 2т "г" 2
Из этих выражений следует непараболичность закона дисперсии энергии для электронов ec и для легких дырок ev2.
Для малых значений волнового числа k, разлагая корни в (13.366) с точностью до k2, получим (13.36) (для А^>е0). Линейные по k члены в выражении для энергии возникают для валентной зоны InSb для четырехкратно вырожденного спинор-ного неприводимого представления Г8 (табл. IV.9). Эти линейные члены появляются во втором приближении теории возмущений при учете члена (kp) и спин-орбитального взаимодействия, пропорционального [V^xp] (13.28). Заметим, что такие линейные члены по k не возникают в зоне проводимости InSb и в валентной зоне германия (в последнем случае.из-за наличия инверсионной симметрии).
Эти линейные члены вызывают в In Sb расщепление вырожденных по спину ветвей тяжелых и легких дырок, пропорциональное k.
При малых значениях k преобладают линейные по k члены, а не члены, пропорциональные k2 или более высоким степеням k\ при больших значениях к преобладают члены, пропорциональные k2, Это приводит к тому, что максимумы энергии в валентной зоне не совпадают с точкой k = 0, а сдвинуты относительно нее в направлениях [111]. Опыты показывают, что максимумы энергии всего на 0,015 эв выше верхнего края валентной зоны для 4 = 0 и расположены весьма близко к этой точке.
Аналогично можно показать, что в зоне проводимости анти-монида индия возникают в выражении для энергии члены, пропорциональные k3; они так же ответственны за снятие спинового вырождения в зоне проводимости.
I § 14. Симметрия, связанная с обращением времени
1. В гл. II, § 9, п. 3 было показано, что если взять уравнение, комплексно-сопряженное временному уравнению Шредин-гера с вещественным гамильтонианом §С, то состояние с волновой функцией т|з* развивается в направлении времени — t, точно так, 292
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
же, как состояние \р в направлении времени t. Для стационарного состояния гр и гр* описывают вырожденные состояния, соответствующие одной и той же энергии S-
В этом параграфе мы собираемся в рамках квантовой механики более детально исследовать симметрию, связанную с обращением (инверсией) времени. Вопрос этот довольно сложен, поэтому целый ряд положений мы приведем без доказательств (в этих случаях мы будем писать: «можно доказать»). Необходимые доказательства и дополнения читатель может найти в § 18 книги Г. Jl. Бир, Г. Е. Пикус. Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках.— M., 1972. В нашем изложении мы будем близко придерживаться текста этой книги.
2. Можно сказать, что операция инверсии времени JC превращает волновую функцию гр (г, t) в новую функцию
т (г, t)=*V(r, —t), (14.1)
которая удовлетворяет тому же уравнению Шредингера (если гамильтониан веществен).
Очевидно, что ^2Ip = = ^ip* —tp, т. е.
= (14.2)
Для стационарного состояния
(14.3)
При вещественном гамильтониане Ж, ^p и ЗЇГгр = гр*—собственные функции уравнения (14.3), соответствующие одному и тому же собственному значению энергии S', это может привести к дополнительному вырождению состояния с энергией S- Если гамильтониан Ж инвариантен относительно преобразования g группы G.(g?G), то гр и gip— тоже собственные функции уравнения (14.3), соответствующие одной энергии S- И это тоже может привести к вырождению состояния с энергией S- Однако мы не можем применить теорию, развитую в предыдущих параграфах, к случаю симметрии, связанной с инверсией времени, так как оператор инверсии времени ЭС не является линейным оператором; в самом деле,
