Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
T (C1Ij)1 + с4г|>а) = + (14.4)
в то время как для линейного оператора g, связанного с преобразованием координат,
g (C1Tp1 + C2Vp2) = C1^1 + (14.4а)
Легко показать, что оператор дС коммутирует со всеми элементами § 14] СИММЕТРИЯ, СВЯЗАННАЯ С ОБРАЩЕНИЕМ ВРЕМЕНИ 391
g группы симметрии G; имеем
=S^y, (14.5)
/
где Dji (g) — неприводимое представление для элемента g. Тогда
ад-=^S Djtfj=s zW.
і і
а
і
откуда
&g = gX. (14.6)
Собственные функции іф и удовлетворяющие уравнению (J4.3) при одном и том же собственном значении энергии могут быть линейно независимыми и тогда одному значению $ соответствует два независимых набора ортонормированных собственных функций tf и Если же ^1- и ЭГф,- линейно выражаются друг через друга, то
= л% (14.7)
/
где T—унитарная матрица, обеспечивающая ортонормирован-ность функций Kftf при ортонормированности функций Ip,-. Можно показать, что в случае (14.7) представления DhD* (14.5) эквивалентны, т. е.
Dt=T1DT. (14.8)
В случае, если функции tf и ЭЭДз, линейно независимы, т. е. не связаны соотношением (14.7), им могут соответствовать либо эквивалентные, либо неэквивалентные представления DuD* (таким образом, из (14.7) следует (14.8), но из эквивалентности представлений (14.8), вообще говоря, не следует линейная связь (14.7)).
Таким образом, возможны три случая:
а) и ^fiлинейно зависимы; представления DnD*
эквивалентны, т. е. %(g) = %*(g)~,
б) и f^fip линейно независимы; DnD* неэквива-
, ^ лентны, т. е. %{g)?=y?{g)\ (14.9)
в) я]) и линейно независимы; D неэквивалентны,
т. е. X (g) = х* (г).
Здесь X (g) — характер представления D (g), %* (g) — характер D*. Так как линейно независимые волновые функции ip и f^fip соответствуют одному и тому же значению энергии <§, то в случаях 294
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
б) H в) инвариантность по отношению к обращению времени приводит к дополнительному вырождению. Поэтому практически важно различать случаи (14.9).
Докажем, что в случаях а) и в), когда представления D и D* эквивалентны, т. е. связаны соотношением (14.8), необходимым и достаточным условием вещественности D является требование T=T (из унитарности T следует: T=T*"1). Если же T= — Т, то представление D существенно комплексно, т. е. не может быть каким-либо преобразованием подобия приведено к вещественному виду.
Беря комплексно-сопряженное от (14.8), получим
D = Ti-1DiTi= Ti-1T-1DTTi = (TTt)'1 D(TTi)
или
(TTi)D = D(TTi),
т. е. матрица TT* коммутирует со всеми матрицами D (g)\ тогда (по первой лемме Шура1)) она кратна единичной матрице /:
TTi = Cl, T=CTi-1 =сТ,
так как T—унитарная матрица. Отсюда Т=сТ и, следовательно, Т=сТ=с2Т, откуда с=± 1. Итак, возможны два случая: первый T=T и второй T = —Т. Если D(g) вещественно, то из (14.8) TD = DT, тогда по первой лемме Шура Т=Ы и T=T, т. е. реализуется первый случай. Можно доказать, что условие T=T не только необходимо, но и достаточно для того, чтобы D(g) было вещественно. Таким образом, мы доказали высказанные выше утверждения. Пользуясь этим результатом, докажем, что в случае а) (14.9), когда имеется линейная связь между г|) и З^гр (14.7) и, следовательно T в (14.8) совпадает с T В (14.7), представление D вещественно.
Из (14.7) следует, что
fab=S = S пт^.% = S (TTi)liMfl.
І it і
Так как X2 = I (14.2), то (TTi)li = Ьн и, следовательно, TTi = I или T= T (здесь опять использована унитарность Т). Таким образом, случаю а) всегда соответствует вещественное представление D- И, наоборот, если представление D вещественно, т. е. реализуется случай а), то симметрия по отношению к инверсии времени не приводит к дополнительному вырождению.
Если же представление D (14.5), по которому преобразуются функции, комплексно, то инверсия времени приводит к дополнительному двойному вырождению, независимо от того, яв-
1J Бир Г. Л., Пи кус Г. E., § 8. § 14] СИММЕТРИЯ, СВЯЗАННАЯ С ОБРАЩЕНИЕМ ВРЕМЕНИ 391
ляются ли представления DmD* эквивалентными (случай в)) или неэквивалентными (случай б)).
3. Мы не учитывали пока спина электрона. Член в гамильтониане §С, учитывающий спин-орбитальное взаимодействие, имеет вид (10.6)
^0=-4^° [VF XV], (14.10)
где а = {а1; сг2, а3} — спиновые матрицы Паули (10.2). При инверсии времени, т. е. переходе к комплексному сопряжению, (14.10) приобретает вид
(14.10а)
Здесь, как это следует из (10.2),
O^ = O1, ol =— (х2, OrJ=CT3. (14.106)
Для полного гамильтониана, рассматриваемого как функционал
от Oi
§С* (а,) = — Stf ( — о*). (14.11)
Уравнение Шредингера—Паули для стационарных состояний имеет вид
[W(Si)S^ir, S) = 0, (14.12)
где волновая функция (см. (10.11) и (10.11а))
ч (Г, S) = S ^CK(S), (14.13)
1=1,2
или
т (г, s) = ^;). (14.13а)
Операция обращения времени (комплексного сопряжения) (14.12) дает
[Ж*(Ь;)—<§]У*(г, S) = 0. (14.14)
Мы не можем теперь (как это было, когда не учитывался спин) сказать, что 1F (г, s) и 1F* (г, s) являются решениями одного и того же уравнения (14.12).
