Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
= Ve (Stfxx + Stfyy + IStfxy-IStfyx + 4 Stfzz),
где мы использовали ортогональность спиновых функций; подставляя сюда значения элементов матрицы (13.15), получим после некоторых преобразований
Stfn = Aki-1Z2B(WSkl) = G. (13.19)
Легко показать, что
Stf зз = Stf 22 = G.
Далее
Stfn = ^y= <(x+iy)v1 \Й\(х + і у) v2 - 2zvt> **
= (Stfx-IStfyz)=-Dkz(kx-iky)^H, TAttD=NlVZ, (13.20)
Stfiз = --^ [В (kl-Ц) + iDkxkv] = J. (13.21)
Легко видеть, что
Stfu — S^Cis — 0, Stf2I=J, SKsi=—H.
Остальные элементы матрицы Stfik можно получить, используя ее эрмитовость:
Stf'ik = Stflii-
Секулярное уравнение для энергии e = s'2) имеет вид F-E HJ 0 Я* G-в 0 J J* 0 G-е —H 0 J* —Н* F-є
где величины F, G, Н, J равны (13.18)-(13.21).
Разлагая определитель четвертого порядка (13.22) по элементам первой строки, после некоторых алгебраических преобразований получим
[(F-e) (G-E)-ItfM-M1P = O,
= 0, (13.22) S ІЗ]
6ПБКТР ЭЛЕКТРОНОВ ВБЛИЗИ МИНИМУМА ЭНЕРГИИ 285
ьі, а •
или
(е_/г)(е-0)-|Яр-и Ia = O.
Решая это квадратное уравнение, получим
Ці± /(^)2-^+w+ur.
Подставляя значения F, G, H и J, получим после длинных, но простых алгебраических преобразований
elf 2 = Ak2± V B*kl + C2 (klkl + klkl + tfkl), (13.23)
где А и В равны (13.18а), а
С2=?)а_зBi=(N + L-M)(N-L + M) ^ (13 23а)
если использовать значение BnD (13.20).
Так как исходное уравнение для є биквадратно, то каждый из корней (13.23) двукратно вырожден, что связано с инвариантностью относительно инверсии времени.
Для определения спектра энергии в отщепившейся в результате спин-орбитального взаимодействия двукратно вырожденной зоне Г7 необходимо решить секулярное уравнение ранга 2x2, матричные элементы которого Ж1к вычисляются на волновых функциях (13.16а). Сопоставляя у Ж\к индексы i, k=l, 2 значениям: 1 — V2, 2—V2, получим из (13.16а)
ЯГц = V3 <(х + iy) V2 + ZV1 I к I (x + iy) V2 + 2V,> =
= V3 YffixxjT Жуу — І-Жух + i-fflxy + ^22] =
=Jd^ (kl+ щ +kl) = Ak*, (13.24)
где мы воспользовались обозначениями (13.12), (13.13) и (13.18а). Легко показать, что
Ж2%=Ж\г, Жъ = Ж21 = 0. (13.24а)
Используя полученные значения Жщ, составим секулярное уравнение
Aki-Д—е О
0 Ak2-A-
= 0. (13.25)
Здесь А = <? (Ге)—S (Г7)—спин-орбитальное расщепление уровней Г, и Г, в точке А = 0.
Из (13.25) имеем для дважды вырожденного корня
е3=—А + Ak*, (13.26)
т. е. в зоне Г7 имеет место простой параболический закон дисперсии (поверхности постоянной энергии—сферы). Закону дисперсии энергии (13.23) для зоны Г„ соответствуют поверхности 286
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
постоянной энергии—гофрированные поверхности, имеющие в плоскости [100] (т. е. плоскости kxky) вид, изображенный на рис. IV.27.
5. Опыты по циклотронному резонансу, явлениям переноса и оптическому поглощению в антимониде индия позволили установить следующие особенности его зонной структуры. Минимум зоны проводимости и максимум валентной зоны расположены в точке A = O. Эффективная масса электронов на дне зоны проводимости очень мала и равна 0,013 т, т. е. порядка 0,01 массы свободного электрона. Две ветви дырок, тяжелых и легких, вырождены в точке А = 0. Эффективная масса тяжелых дырок порядка 0,18/п, т. е. более чем в 10 раз больше массы Рис. IV. 7. электронов и, по-видимому, легких ды-
рок. Третья ветвь дырок (также легких) отщеплена за счет спин-орбитального взаимодействия от верхнего края валентной зоны на величину Д » 0,9 эв.
Такая структура валентной зоны в антимониде индия следует из теории, если использовать симметрию кристалла InSb и не учитывать поправок к энергии линейных по k. Закон дисперсии энергии є (А) для всех ветвей обладает сферической симметрией, но для легких частиц при больших значениях k обнаруживает заметное отклонение от простой параболичности (е не пропорционально k2).
Ширина запрещенной зоны е0 при комнатной температуре равна 0,17 эв и сильно зависит от температуры, так что при 0°К Eq = 0,23 эв. Узость запрещенной зоны требует одновременного рассмотрения состояния электрона в валентной зоне и зоне проводимости.
Такое «взаимодействие» состояний электрона в валентной зоне и зоне проводимости с одновременным учетом спин-орбитального взаимодействия позволило полуколичественно объяснить большинство особенностей зонной структуры InSb (Е. О. Кейн, 1956).
Оператор спин-орбитального взаимодействия (10.6), действуя на блоховскую функцию, дает два слагаемых
= (13.27)
По порядку величины первое слагаемое в p/Afe раз больше второго; здесь р—импульс электрона в атоме (спин-орбитальное взаимодействие в основном обусловлено электронами атомов S ІЗ]
6ПБКТР ЭЛЕКТРОНОВ ВБЛИЗИ МИНИМУМА ЭНЕРГИИ
287
решетки), a U —квазиимпульс электрона проводимости; отношение plhk велико.
Первое слагаемое в (13.27) определяет спин-орбитальное расщепление уровней, второе—ответственно за зависимость эффективной массы от энергии.
Удерживая только первое слагаемое, получим вместо (13.1) (опуская номер зоны п)
