Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
В некоторых случаях для описания локализованных состояний электрона в решетке целесообразно использовать в качестве нулевого приближения не функции Блоха
(г) = Unk (г) eikr, (1.1)
где п — номер разрешенной зоны энергии, k—волновой вектор, а так называемые функции Ванье (1.3), определенные ниже. Функции Блоха (1.1) периодичны в ft-пространстве с периодами обратной решетки O, (Ї = 1, 2, 3); это означает, что Mpnk (г) может быть разложено в ^-пространстве в ряд Фурье:
(г) = » ? ф„ (pi, г) еШа'. (1.2) gl] ФУНКЦИИ ВАНЬЕ 306
В самом деле, сумма в правой части не меняется при замене к на к + b{: ехр [і (к + bt) аг] = ехр [ikat] ехр IibiUtJ = ехр [іАи*і] X X ехр [І (2л X целое число)] = ехр [/?«,]. Коэффициенты разложения ф„(aj, г), где Ui—вектор решетки 1-го узла, называются функциями Ванье; они осуществляют «узельное представление» электрона в идеальной решетке.
Умножая обе части равенства (1.2) на ехр[—ikam] и суммируя по к, получим, используя (П.6.8),
Ф„ (ат, г) = -^= Yi е-іка^пн (г) = ? unJh (1.3)
Так как ипЛ (г) = ипк (г—ат), то фп(ат, г) = фп(г—ат).
Покажем, что каждая из N функций Ванье ф„(г—ат) (да = 1, 2, ..., N) локализована вблизи своего узла да. Для упрощения доказательства рассмотрим простую кубическую решетку и аппроксимируем функцию Блоха плоской волной ^nft (г) = -y=eihr\ в этом случае (1.3) равно
Фп (г—ат) = С 2 eikxl 2 е'**4 2 eikл-
kx ky kz
Здесь С—нормировочная константа волновой функции фп; г|, L1 — прямоугольные составляющие радиуса-вектора р = г—ат и /г. = 2ngi/Ga (— G/2G/2)l), как это следует из (IV.3.3) для простой кубической решетки с ребром куба, равным а.
Суммируя, как геометрическую прогрессию, сумму по kx (по g), получим
я? ая| я|
°/2 . 23X6 -°/2 .23X5 „'т'ої
а
' дд-'-. (1.3а)
kx g = l g=-l g Ca_]
При достаточно больших размерах основной области кристалла можно считать, что l/Ga 1, поэтому ехр і g « 1 + і тогда (1.3а) (с точностью до константы) равно
ПІ
JV
Sin-- • а
к* а
Это выражение имеет максимальное значение, равное единице при ? = 0; при увеличении ? оно быстро убывает, осциллируя. Таким образом, функция Ванье ф„(г—ат) имеет максимум в точке г = ат, быстро убывая при возрастании г—ат.
і) В данном случае для G выбрано большое четное число. 306 ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОНА [ГЛ. V
Аналогичное доказательство может быть приведено и в более общем случае—для кристалла произвольной структуры и для общего вида блоховской функции (следует только считать, что Uk (г) слабо зависит от k). В этом смысле выражение (1.2) подобно приближению сильной связи (IV.7.2а), но является точным. Выражение (1.2) имеет существенное преимущество перед (IV.7.2а), так как функции Ванье (1.3) взаимно ортогональны как по номеру зоны п, так и по номеру узла т\ в самом деле,
5 фї (г—Ctm) ф„. (г—ат•) д?г ==
V
= TLei {kam~k'am,) J ^nk (Г) (г) d*r = kk'
= iL ?tft {am~am,)j (ft_ft,) am'Snn'Okk' = kk'
= VLe'* {am~am,) =bnn'bmm., (1.4)
k
где мы использовали (IV.3.4) и (П.6.8).
2. Пусть наряду с периодическим потенциалом V (г) на электрон проводимости действует поле 4L (г). Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид
- Й ГФі (Г) + [V (г) + 4L (г)] Ф,- (г) = Siф,- (Г), (1.5)
где Ф,-(г) и Si — 1-я собственная функция и соответствующая ей собственная энергия.
Разложим собственную функцию Ф,- (г) по полной системе ортонормированных функций Ванье (1.3):
Ф/(г)ї=2Я.(а/')фП'(г-аг). (1.6)
n'l'
Здесь п' — номер зоны энергии, a аг—вектор решетки узла I', f{n—коэффициенты разложения, которые надо определить из (1-5). Подставляя (1.6) в (1.5), умножая слева на ф*n{r—at) и интегрируя по dsr = dxdydz, получим
?/?.(«/') ^nir-Ul) [-? V1+ V(г)+ 4L (г)-Si] X
n'l'
X фл- (г—av) d3r = 0. (1.7)
Если поле cU(T) меняется плавно и достаточно медленно на расстоянии постоянной решетки, так что можно положить cU (г)«cU [ai'), то интеграл от двух последних слагаемых в gl] ФУНКЦИИ ВАНЬЕ 306
квадратной скобке равен
S Фп(г—ад [41 (r)-Si] Ф„. (г-at.)d*r =
= [eU (Of)-Si] S Фп (г—аі) ф(r-at.) d*r = = (1-8)
где мы воспользовались ортонормированностью функций Ванье (1.4). При подстановке (1.8) в (1.7) получим
2 [Cll(at')-Si]fk'(ai')bnn^ii. = [4(ai)-Si]fin(ai). (1.9)
n'f
Первые два слагаемых в квадратной скобке (1.7) при переходе от функций Ванье к функциям Блоха (1.3) дают
E К' <«'•> -И IE ^ с) с)]х
n't' ' 1 ft
(r)d»rj =
= T E Я' E E ikat ~k'av) 11^"'*'=
я'/' ft ft'
=TF E E & («'')(fta/"ft'az,) e«' (*') =
n't' kk'
=-w E E ^eik (ai~av) e" w> (1 •1
f л
где мы воспользовались ортонормированностью функций Блоха и обозначили собственное значение невозмущенного гамильтониана — (A2/2m) Y2 + V(r) через En-(V).
Положим at—at' = am, тогда правая часть (1.10) равна
^2dfln(al-am)eika'"en(k). (1.11)
т ft
Разложим функцию fln (at—г) в ряд Тейлора по г вблизи точки at. ІІг (at-г) = ft (at)-rv/A (a,) + 1ZtTrwf1n (ai) -... =
= [l-rv + J/2rrw-...]^(a/). (1.12)
Здесь V/A (a/) = [T/A(r)]r=a, и аналогично для выражения Wfin(Ut) (ТИПИЧНЫЙ член которого имеет ВИД [02/? (г)/дхду]г=аі)-
