Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Подвергнем уравнение (14.14) каноническому преобразованию, потребовав, чтобы
^ SW* (Zi)S-I = SWi-SftS-1 = W (Oi)l (14.15)
где S—матрица унитарного преобразования, действующая на спиновые матрицы Oi. Очевидно, для этого
So1S-1 = -O1, So2S-1 = о2, SoaS-1 = -оа, (14.16) как это следует из (14.106). 296
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
Воспользовавшись (10.2а), легко проверить, что эти уравнения удовлетворяются, если положить
S = S-I = Oa. (14.17)
Каноническому преобразованию (14.15) соответствует преобразованная волновая функция
SV (г, S) = B2X0T (г, S), (14.18)
где X0—оператор комплексного сопряжения.
Таким образом, функция O2X0xF (г, s) удовлетворяет тому же уравнению (14.12), что и функция 1F (г, s). Инверсии времени в случае уравнения Шредингера—Паули (14.12) соответствует оператор
X = O2X0. (14.19)
Применяя его дважды, получим
X2W = h 2X0b2X0W = O2X0OeV = OaS241F = - W, где мы использовали (10.2а); таким образом,
X2 = -I (14.20)
в противоположность (14.2) для бесспинового случая.
Используя (14.20), можно совершенно аналогично тому, как это сделано выше, показать, что случаю а) в (14.9) соответствует необходимое и достаточное условие T=-T. Таким образом, при учете спина случаю а) в (14.9) соответствуют эквивалентные, существенно комплексные представления D(g).
И в этом случае, как и в отсутствие спина, инвариантность к инверсии времени не приводит к добавочному вырождению. В тех же случаях, когда спинорные волновые функции преобразуются по двузначному вещественному представлению (случай в) в (14.9)) или по комплексному с комплексными характерами (случай б) в (14.9)), представления удваиваются, т. е. имеет место дополнительное двойное вырождение.
4. Фробениус и Шур показали, что, используя свойства матрицы Т, можно установить, является ли представление вещественным или комплексным, зная лишь его характеры: если сумма характеров квадратов элементов группы равна числу элементов группы h, то T=T и представление вещественно; если эта сумма равна —h, то T=—T и представления комплексны и эквивалентны; наконец, если она равна нулю, то представления комплексны и неэквивалентны.
Эти результаты отражены в следующей таблице, учитывающей влияние инверсии времени на вырождение. § 14] СИММЕТРИЯ, СВЯЗАННАЯ С ОБРАЩЕНИЕМ ВРЕМЕНИ 391
Таблица IV.171)
Критерий Фробениуса—Шура Вырождение Соотношения между D и D*
В отсутствие спина (D — обычные представления) При наличии спина (D — спинорные представления)
a) Sx(Sa) = ^A & Нет дополнительного вырождения DnD* могут быть сделаны вещественными и одинаковыми DkD* эквивалентны, но существенно комплексны (т. е. не могут быть сделаны вещественными)
б) 2x(g2)=o g Имеется дополнительное двойное вырождение D и D* не эквивалентны 1(g) ?=%*<?)
в) Sx(S2)=-^2A Є DnD* эквивалентны, но существенно комплексны (т. е. не могут быть сделаны вещественными) DnD* могут быть сделаны вещественными и одинаковыми
Величина (%"2=1 в отсутствие спина (14.2) и &С'г =—1 при наличии спина (14.20).
Продемонстрируем применение этой таблицы на простом примере точечной группы C3 (табл. II.8). Критерий Фробениуса — Шура для неприводимого представления Г2 дает
2 X (g2) = X (?а) + X (CS) + * (Ci) = X (E) + X (Cl) + X (C3) = е
•= 1 + (oa + со = 1 + е-2IU'/3 + е™1>3 = 1 + 2 cos =^- = 0.
Из приведенной выше таблицы видно, что для Г2 (и аналогично для Г8) имеется дополнительное двойное вырождение, связанное с симметрией по отношению к инверсии времени. Это означает, что состояния Г2 и Г3 объединяются в одно неприводимое двукратно вырожденное состояние (в табл. 11.8 они поэтому объединены).
5. Непосредственное применение критерия Фробениуса—Шура (табл. IV.17) к исследованию влияния инверсии времени на уровни энергии электрона в кристалле невозможно, так как суммирование в 2х(?а) должно распространяться на все элементы б 298
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
группы симметрии системы, а число элементов пространственной группы кристалла (практически) бесконечно.
Херрингу удалось преобразовать критерий Фробениуса— Шура применительно к энергетическим зонам в кристалле, выразив его через характеры элементов, относящихся к группе волнового вектора1). Критерий Херринга, позволяющий различать случаи а), б) и в) табл. IV. 17, имеет вид
Здесь g0—элемент пространственной группы кристалла G, не содержащий тривиальных трансляций, преобразующий волновой вектор ft в —k\ поэтому gl преобразует k—>k, т. е. в один из элементов группы волнового вектора Gk, который для несим-морфных групп, вообще говоря, уже может содержать тривиальную трансляцию, п — число таких элементов. Заметим, что % (gl) — характер исследуемого представления группы волнового вектора Gk Для элемента В конце § 8 мы исследовали энергетический спектр InSb. Мы показали, что если центру бриллюэновской зоны соответствует трехкратно вырожденное состояние Г16, то на оси А оно расщепляется следующим образом:
где A1, A3, A4 — неприводимые одномерные представления группы волнового вектора ?д. Далее мы отметили, что состояния A3 и A4 из-за дополнительной симметрии, связанной с инверсией времени, не расщепляются, образуя двукратно вырожденное состояние.
