Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Конечно, общее решение секулярного уравнения (13.15) не совпадает с простым выражением (IV.7.24), что свидетельствует о том, что kp-метод в квадратичном приближении выходит за рамки простой модели сильной связи, учитывающей взаимодействие лишь соседних атомов.
4. Уравнение (13.15) определяет спектр дырок в кристаллах германия или кремния без учета спигіЧ>рбиТального взаимоДей- 282 [ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ (ГЛ. JV
ствия, которое, как мы видели в § 12, приводит к расщеплению уровней энергии.
Состоянию Г25 в центре валентной зоны при учете спина соответствуют не три функции, преобразующиеся как X, Y и Z, а шесть функций вида: Xv1, Fv1, Zv1, Xv2, Fv2 и Zv2, где v1(s) и v2(s)—спиновые функции (10.12). Секулярное уравнение (13.7) будет теперь определителем шестого порядка.
Очевидно, что в качестве волновых функций нулевого приближения можно взять шесть произвольных линейных комбинаций указанных выше шести функций Xv1, Fv1, ..., Zv2. Можно показать, что если выбрать эти линейные комбинации в виде
у 2 У6 (13.16)
r^72=7? [{x~iy) Vl + 2zv*1 r3-/1/2 = yT {x~iy)
и
Y1S = -jl [(x+iy) v.+zvj, ГГ/2/3 = j=. [(х-и/) v1-zv2],
(13.16a)
то они диагонализуют гамильтониан спин-орбитального взаимодействия (10.6). В результате этого секулярное уравнение с определителем шестого порядка распадается на два секуляр-ных уравнения с определителями четвертого и второго порядков (см. ниже).
Функции Yf на единичной сфере, т. е. при условии х2+у2+ + z2=i—шаровые функции, являющиеся собственными функциями оператора проекции полного момента количества движения
J2 = M2 +S2, (13.17)
где M и 5 определяются выражениями (10.17) и (10.1); т%— проекция полного момента количества движения на ось z, максимальное значение которого равно jh.
Применяя, например, оператор Jz (13.17) к функции У-ГД72» получим
= ¦7=6 [т ОЪ-У s) + T] К*"'*> V1 + 2zva] =
=-4 TT к* - +22v*I=-4 r^72 -
где мы воспользовались тем, что ojv1 = v1 и cyv2 = —v2 (см. (10.13)). Мы видим, что собственное значение оператора Jz, соответствующее функции Yf = YзД/2, действительно равно mfi = = —A/2, т.е. т = —1I2. Можно показать, что волновые функции S ІЗ]
6ПБКТР ЭЛЕКТРОНОВ ВБЛИЗИ МИНИМУМА ЭНЕРГИИ
283
(13.16а) на единичной сфере взаимно ортогональны и нормированы (на 4я/3).
Структура «правильных» волновых функций нулевого приближения (13.16а) может быть понята и из следующих соображений. Представление двойной группы Г15 равно прямому произведению D1Z2XD1, где D1--HenpHBoAHMoe представление Г16, а ?)і/2 — неприводимое спинорное представление (10.31). Можно показать, что
D1I2XD1 = D3I2 +D1/2,
где D3/2 — неприводимое представление размерности 4, соответствующее полному моменту импульса, равно 3IJi, a D1/2— неприводимое спинорное представление размерности 2 с моментом 1Iji. Эти представления также неприводимые в кубической группе и переходят соответственно в представления Г8 и Г, в согласии с разложением (12.6): D1Z2Xri5 = T8 + !",. Поэтому базисными функциями четырехкратно вырожденного представления T8 являются функции (13.16)—собственные функции оператора полного момента Jz с максимальным собственным значением 3IJi, а базисными функциями двукратно вырожденного состояния T7—функции (13.16а), соответствующие моменту 1Iji.
Можно показать, что недиагональные матричные элементы оператора спин-орбитального взаимодействия (10.6), построенные на функциях (13.16) и (13.16а), равны нулю. Добавка к диагональным матричным элементам ЖГ'г (13.7а), связанная сс спин-орбитальным взаимодействием, на функциях (13.16), равна V3A, а на функциях (13.16а) равна —2/3Д, где Д—спин-орбитальное расщепление зон T8 и T7 при Aj = O1).
Если расщепление зон <?(Гв)—<?(Г7) = Д, обусловленное спин-орбитальным взаимодействием, велико по сравнению с кинетической энергией носителей тока, то секулярные уравнения для зон Г8 и Г7 можно рассматривать раздельно.
Обозначим через S^ik элементы матрицы секулярного уравнения для определения энергии возмущения во втором приближении при учете спин-орбитального взаимодействия, когда в качестве «правильных» волновых функций нулевого приближения выбраны функции (13.16); сопоставим у Жік индексам i, k = \, 2,3,4 значения: 1 »/„ 2 -¦*/„ 3 -*—»/„ 4-*—'»/„ тогда из (13.16) получим
ЯГи = V2 Ф + iy) V1I^K* + iy) Vl> =
1J Воспользовавшись выражением (10.6) для SfCstl, явным видом функций (13.16), (13.16а) и соображениями симметрии, нетрудно показать, что смеще-
ние уровня энергии при ft = 0 зоны T8 пропорционально 2<r|V^V>, а зоны
Г7 пропорционально (^4<r|vN>), так что расщепление Доо6<г[у^>' 284 [ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ (ГЛ. JV
где Stf'rr(rf, г = х, у, г)—элементы матрицы (13.7а); воспользовавшись обозначениями (13.12), (13.13) и учитывая, что Stfxy-=Stfyxt получим
SVn = V2 (SKxx + Stfyv) = V2 (L + М) (kl + kl) - МЩ =
= Ak^1Z2B(PSkl) = F, (13.18)
где
A = l-±I™ и B = ^-. (13.18а)
Легко видеть, что
Stf 44 = Stfi 1 = F.
Далее
^22 = Ve <(х + iy) v2 - 2Zv11 §С I (х + iy) v2 - 2zvj> =.
