Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
/1 0 0\ /1 0 0\ /1 0 ON
II1 = IO і о , а2= 0 -і о , а**= о о і), \о о і/ Vo 0—1/ Vo і о/
/1 0 ON
а20 = о о -і . (11.1)
Vo —і о/
Определители матриц этих преобразований равны
Ia1I = Ia2I = I, IaieI = Ia20I = -1, (11.2)
откуда следует, что преобразованиям и R2 соответствуют соб-ств'енные, а R19 и R20—несобственные вращения. Матрицы пре- §11] ДВОЙНЫЕ ГРУППЫ B КРИСТАЛЛАХ InSb И Ge 267
образований JR19 и JR20 (где J — инверсия), равны / —1 0 0\ /—1 0 0\ а}9 = [ о 0-1), аГ = { OOi (ц.з)
4 0—10/ \ 0 1 о/
и им соответствуют собственные вращения (| a}91 = I af | = l). Можно непосредственно убедиться в том, что группа R1, R2, R19, R20 изоморфна группе R1, R2, JR13, JR20-
Если $п (?д) ^„-кратно вырожденный уровень энергии в точке k\, с собственными функциями 1Fn* д/- (s, г)(/=1, 2, ..., dn) (10.11), зависящими от спина, то последние являются базисными функциями неприводимого представления двойной группы размерности dn.
Из того, что элементам R1 и Rt = ERl соответствуют матрицы D1 разного знака (10.35) и (10.35а), следует, что элементам двойной группы волнового вектора \ап] и \а„} (I = 1,
2, 19, 20) соответствуют матрицы неприводимого представления dn-ro ранга Г(#г) и Г(#г) =— Г (?>,). Спиновые функции V1(S) и v2 (s) сами по себе являются базисными функциями двумерного неприводимого представления двойной группы, у которой элементам R1 и R1 соответствуют матрицы второго ранга D1 и —D1 (10.31). Мы можем поэтому использовать эти матрицы для того, чтобы составить таблицу умножения нашей двойной группы.
Для определения углов Эйлера а, ?, у соответствующих собственному вращению координатной системы, мы будем пользоваться матрицами a1, a2, а}9, а20, соответствующих изоморфной группе R1, R2, JR19, JR20. Из (10.25а), (10.256) получим
а1: a = ? = Y = 0, а2: ? = n, 7—а = л, a}9: ? = л/2, а = у = Зл/2, а?: а = ? = 7 = л/2.
Используя эти значения а, ?, 7, получим из (10.31) следующее двумерное представление двойной группы:
:',)• Ml "')¦
где условно верхний знак соответствует Ri, а нижний знак — Ri 1J. Восемь матриц (11.4) представляют некоторую группу восьмого порядка. Мы можем составить таблицу умножения этой группы.
х) Условность этого связана с тем, что прибавление 2я к любому углу Эйлера, что всегда возможно при его определении, меняет знак матрицы D1. 268
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
Например,
R19R2=-Jr(; ~о)~~~рг(—і
и так для всех элементов. В результате мы получим табл. IV.7, в которой первый левый столбец соответствует первому множителю, а первая верхняя строка—второму множителю. Из этой таблицы непосредственно определяются элементы, обратные данному; так, например, RuR19 = R1- E, поэтому R19=R19 и R19 = = R19- Группа не абелева: R2R19 = R20, a R19R2 = R20, так что R2R19?* R19R2-
Таблица IV.7
Ri Ri Ri Rz Ri9 Ri9 R 20 R 20
Ri Ri Ri Ri R3 Ri9 Ri9 R2o R 20
Ri Ъ Ri Ri R2 Ri9 Ria R2o R2 о
Ri R1 R2 Ri Ri Ru R2o R19 Ri9
Ri Rа R2 Ri Ri R 2« R21 Ri9 Ri в
Ri9 Ri9 Ri9 R 20 R2* ЇЇі Ri R2 *2
ru Ri9 riq r2* Ri Ri R2 R2
Rio R >0 r SO Ria Ria R2 R2 Ri Ri
Rto ^ao IO R їв Ria R2 R2 Ri Ri
Пользуясь табл. IV.7 и определением сопряженных элементов (П.2.3), можно показать, что рассматриваемая двойная группа состоит из пяти классов
Ci = Ai, Ci ^Ri, С S = R2 +R2, С < = R19 +R19,
С S = R29 + RM- (11.5)
Так как число неприводимых представлений равно числу клас- §11]
ДВОЙНЫЕ ГРУППЫ B КРИСТАЛЛАХ InSb И Ge
269
сов (11.6.30), а сумма квадратов размерностей неприводимых представлений равна порядку группы (II.6.22), то в рассматриваемом случае
12_|_ I2-J- 1а-}-22 = 8, Таблица IV.8
т. е. размерности неприводимых представлений A1, A2, A3, A4 и A5 равны соответственно 1, 1, 1, 1 и 2; эти же числа должны стоять в первом столбце C1 = R1 таблицы характеров.
Используя свойства ортонор-мированности строк и ортонор-мированности столбцов, составим табл. IV.8 характеров нашей двойной группы. Эта таблица характеров получена обычным способом. Однако для нашей двойной группы должно выполняться условие % (Ri) = = — X(Ri), поэтому, если Ri и Ri входят в один класс, то его характер должен равняться нулю. Согласно (11.5) классы C3, C4 и C6 удовлетворяют этому условию, поэтому соответствующие им характеры должны равняться нулю. Из табл. IV.8 видно, что это имеет место только для представления A5. Можно сказать, что в точке А в InSb имеется для двойной группы только 0ДНО (спинорное) неприводимое представление A6.
Мы приходим, таким образом, к заключению, что в кристаллах InSb в точке А электрон при учете спина может находиться только в дважды вырожденном состоянии A6.
Так же могут быть рассмотрены двойные групнн в InSb в точках Г и X.
Таблица IV.9
Ri Ri Rj- R_i Rs-Ri Rt-Rit RB-Ris Ris-Ris Ris — R21 Rl 9 R S4
г. 2 -2 0 1 -I VT —VT в
Г, 2 -2 0 1 -1 -VT VT 0
Г, 4 -4 0 -1 1 0 0 0
DXrll 6 -6 0 0 0 —VT VT 0
В табл. IV.9 и IV.10 представлены спинорные неприводимые представления двойной группы для InSb в центре бриллюэновской зоны Г и в точке X; из таблиц видно, что при учете спина
