Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
2. Пусть теперь состояние электрона (дырки) в 1-й зоне в точке к = 0, где энергия имеет экстремум, вырождено. Нас
J) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика, § 38.S ІЗ]
6ПБКТР ЭЛЕКТРОНОВ ВБЛИЗИ МИНИМУМА ЭНЕРГИИ
279
опять интересуют поправки к энергии, квадратичные по к. Из теории возмущений вырожденных состояний следует1), что
в нашем случае поправки к энергии е(2) от — (kp) во втором
приближении равны корням секулярного уравнения
2
<1, r'\kp\n, s><n, s]kp\l,r>
т
„о „о Sl-Bn
-е(2)6,
= 0. (13.7)
Здесь 11, г> и J /, г'У — невозмущенные f-кратно вырожденные волновые функции (г, г'= 1, 2...../), удовлетворяющие уравнению (13.1а), для собственного значения энергии єг(0) = є°; I п, s> — волновые функции для уровня энергии Суммирование ведется по всем пфі и S. Порядок определителя секулярного уравнения (13.7) равен кратности вырождения / уровня е°.
Сумма в уравнении (13.7) может быть представлена в виде
І! т?
<1, г' |pg I п, s> <я, S I p? 11, гу
гЧ-
(13.7а)
a? ns
где а и ? принимают значения х, у, г. Запишем теперь секу-лярное уравнение (13.7) в виде
Щгг—е(2)6г,г| = 0. (13.76)
Поправки к энергии е° первого порядка от члена А2?2/2т определяются из уравнения 2)
Pk* \
2т
/, г)—е»«а,,г
= O
или
V 2т є
6„г| = 0.
Отсюда следуют / совпадающих корней
= A2fc2/2m. Из (13.7) и (13.9) следует, что
Pki
Z1 (к) = еН в«»> + е<2> = 6? + ^- + ef
(13.8)
'(13.8а)
(13.9)
(13.10)
где е<-2)—один из f корней уравнения (13.7).
3. Рассмотрим структуру секулярного уравнения (13.76) в случае валентной зоны кремния или германия. Теоретические и экспериментальные соображения делают весьма правдоподобным, предположение о том, что состояние дырки в центре зоны (A = O) соответствует неприводимому представлению Г25 группы Oh. Базисные функции этого неприводимого представления с размер-
1) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика, § 39.
2) См. там же.280
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
ностью 3 следующие (ем. табл. IV.3): Х+=ху, Y+==yz, Z+ = zx. Нетрудно показать, что эти базисные функции при действии преобразований симметрии группы Oh ведут себя аналогично более простым базисным функциям Х = х, Y = y, Z= г неприводимого представления Г„, соответствующего трехмерно-вырожден-ному атомному р-состоянию электрона; поэтому ниже мы пользуемся этими более простыми функциями с симметрией X, у, г. Можно показать, что сумма 2Х13.7а) преобразуется при дей-
ns
ствии элементов пространственной группы кристалла, как матричный элемент
</, Ґ I рарр Ir>=Qcc? (г', г), (13.11)
где операторы рх, ру, рг преобразуются как координаты х, у, г (в самом деле, если при данном преобразовании х—>•—у, то рх=— ihd/дх ihd/dy =—ру).
Рассмотрим константу Qa$(r', г) для состояний г' = г = X и покажем, что для a=?? она равна нулю; положим, например, Pa=zPx, Pv==Py, тогда (13.11) преобразуются под действием элементов группы Oh как произведение [ххух]; при применении преобразования Я2(х у г) (табл. IV.2) получим
R3[x х у х] = —[ххух],
откуда следует, что [хх у = т. е. соответствующая константа Qxy (X, X) равна нулю. Если для тех же состояний г' = г = Х положить Pa = Pp = P*, то (13.11) преобразуется как произведение [хххх] = [х*\; легко видеть, что не может быть такого преобразования Ri или JRi, которое преобразовывало бы [л;4] в — [лг*], поэтому соответствующая константа Qxx (X, X) отлична от нуля; мы обозначим ее через
т— ^2 V' <*' Х 1 Px I S> <"' s 1 Px I l' X>
_ P Vl <1, X\px\n, s> I2 ,.
SZIo • Ud.i/) ns ' "
Пусть по-прежнему состояния r' = r = X, а pa = p^ = py, тогда применяя R13 {xzy) к [хуух\, получим
и это позволяет ввести константу
м- s> І і» у'|</. X\pz\n, 5>р
m~ т* ^ е° о -^rL XITe • Uо.Id)
ns bI fcn ns е< гпS ІЗ] 6ПБКТР ЭЛЕКТРОНОВ ВБЛИЗИ МИНИМУМА ЭНЕРГИИ 281
Мы можем записать теперь (1,1 )-й член определителя (13.76) в виде
Sftxx - е<2> ^ Lkl+ M (kl + kl) —є(а>.
Совершенно так же можно показать, что (1,2)-й и (2,1)-йчлены определителя (13.7а) равны
Ху — у х = N kxky,
где
т2 г1-е% V
Из табл. IV.2 следует, что Rb[*4] = [г/4], Rb\xy*x] = [yz2y] и Rn[xy2x] = [yx2y], поэтому (2,2)-й член определителя (13.76) равен
Жуу - є <2> = Lk2 + M (kl + kl) - є<2>. В результате секулярное уравнение (13.76) приобретает вид
Lk2x + M(k2y + kl) —е<®> Nkxky Nkxkz
Nkxky Lkiy+ M (kl+ ?)-&&> Hkykz =0,
Nkxkz Nkykz Lkt +M (kl +kl)
(13.15)
где материальные константы L, M, N определяются выражениями (13.12), (13.13) и (13.14).
Секулярное уравнение (13.5) третьей степени относительно є(2). Мы не будем решать его в общем виде, а ограничимся случаем выделенного направления волнового вектора к. Пусть kx Ф 0, ky = kz = 0, тогда (13.5) приобретает вид
Lkl-&< ч 0 0
О Mkl- е(2) ®
О 0 Mix- е<2>
=0, (13.15а)
откуда \Lkl—z{2)][Mkl—є(2)]2 = 0.
Таким образом, мы имеем три корня уравнения (13.15а):
ST = Lk2x, e«> = ef =Mfc2, (13.156)
которые полностью соответствуют случаю сильной связи (IV.7.25): Єї = 8 M-Aa2Ul, еа = е я = гм—Ва2Щ.