Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ансельм А.И. -> "Введение в теорию полупроводников" -> 100

Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.

Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников — Москва, 1978. — 618 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriupoluprovodnikov1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 217 >> Следующая


2. Пусть теперь состояние электрона (дырки) в 1-й зоне в точке к = 0, где энергия имеет экстремум, вырождено. Нас

J) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика, § 38. S ІЗ]

6ПБКТР ЭЛЕКТРОНОВ ВБЛИЗИ МИНИМУМА ЭНЕРГИИ

279

опять интересуют поправки к энергии, квадратичные по к. Из теории возмущений вырожденных состояний следует1), что

в нашем случае поправки к энергии е(2) от — (kp) во втором

приближении равны корням секулярного уравнения

2

<1, r'\kp\n, s><n, s]kp\l,r>

т

„о „о Sl-Bn

-е(2)6,

= 0. (13.7)

Здесь 11, г> и J /, г'У — невозмущенные f-кратно вырожденные волновые функции (г, г'= 1, 2...../), удовлетворяющие уравнению (13.1а), для собственного значения энергии єг(0) = є°; I п, s> — волновые функции для уровня энергии Суммирование ведется по всем пфі и S. Порядок определителя секулярного уравнения (13.7) равен кратности вырождения / уровня е°.

Сумма в уравнении (13.7) может быть представлена в виде

І! т?

<1, г' |pg I п, s> <я, S I p? 11, гу

гЧ-





(13.7а)

a? ns

где а и ? принимают значения х, у, г. Запишем теперь секу-лярное уравнение (13.7) в виде

Щгг—е(2)6г,г| = 0. (13.76)

Поправки к энергии е° первого порядка от члена А2?2/2т определяются из уравнения 2)

Pk* \





/, г)—е»«а,,г

= O

или

V 2т є

6„г| = 0.

Отсюда следуют / совпадающих корней

= A2fc2/2m. Из (13.7) и (13.9) следует, что

Pki

Z1 (к) = еН в«»> + е<2> = 6? + ^- + ef



(13.8)

'(13.8а)

(13.9)

(13.10)

где е<-2)—один из f корней уравнения (13.7).

3. Рассмотрим структуру секулярного уравнения (13.76) в случае валентной зоны кремния или германия. Теоретические и экспериментальные соображения делают весьма правдоподобным, предположение о том, что состояние дырки в центре зоны (A = O) соответствует неприводимому представлению Г25 группы Oh. Базисные функции этого неприводимого представления с размер-

1) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика, § 39.

2) См. там же. 280

[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ

(ГЛ. JV

ностью 3 следующие (ем. табл. IV.3): Х+=ху, Y+==yz, Z+ = zx. Нетрудно показать, что эти базисные функции при действии преобразований симметрии группы Oh ведут себя аналогично более простым базисным функциям Х = х, Y = y, Z= г неприводимого представления Г„, соответствующего трехмерно-вырожден-ному атомному р-состоянию электрона; поэтому ниже мы пользуемся этими более простыми функциями с симметрией X, у, г. Можно показать, что сумма 2Х13.7а) преобразуется при дей-

ns

ствии элементов пространственной группы кристалла, как матричный элемент

</, Ґ I рарр Ir>=Qcc? (г', г), (13.11)

где операторы рх, ру, рг преобразуются как координаты х, у, г (в самом деле, если при данном преобразовании х—>•—у, то рх=— ihd/дх ihd/dy =—ру).

Рассмотрим константу Qa$(r', г) для состояний г' = г = X и покажем, что для a=?? она равна нулю; положим, например, Pa=zPx, Pv==Py, тогда (13.11) преобразуются под действием элементов группы Oh как произведение [ххух]; при применении преобразования Я2(х у г) (табл. IV.2) получим

R3[x х у х] = —[ххух],

откуда следует, что [хх у = т. е. соответствующая константа Qxy (X, X) равна нулю. Если для тех же состояний г' = г = Х положить Pa = Pp = P*, то (13.11) преобразуется как произведение [хххх] = [х*\; легко видеть, что не может быть такого преобразования Ri или JRi, которое преобразовывало бы [л;4] в — [лг*], поэтому соответствующая константа Qxx (X, X) отлична от нуля; мы обозначим ее через

т— ^2 V' <*' Х 1 Px I S> <"' s 1 Px I l' X>

_ P Vl <1, X\px\n, s> I2 ,.

SZIo • Ud.i/) ns ' "

Пусть по-прежнему состояния r' = r = X, а pa = p^ = py, тогда применяя R13 {xzy) к [хуух\, получим

и это позволяет ввести константу

м- s> І і» у'|</. X\pz\n, 5>р

m~ т* ^ е° о -^rL XITe • Uо.Id)

ns bI fcn ns е< гп S ІЗ] 6ПБКТР ЭЛЕКТРОНОВ ВБЛИЗИ МИНИМУМА ЭНЕРГИИ 281

Мы можем записать теперь (1,1 )-й член определителя (13.76) в виде

Sftxx - е<2> ^ Lkl+ M (kl + kl) —є(а>.

Совершенно так же можно показать, что (1,2)-й и (2,1)-йчлены определителя (13.7а) равны

Ху — у х = N kxky,

где

т2 г1-е% V

Из табл. IV.2 следует, что Rb[*4] = [г/4], Rb\xy*x] = [yz2y] и Rn[xy2x] = [yx2y], поэтому (2,2)-й член определителя (13.76) равен

Жуу - є <2> = Lk2 + M (kl + kl) - є<2>. В результате секулярное уравнение (13.76) приобретает вид

Lk2x + M(k2y + kl) —е<®> Nkxky Nkxkz

Nkxky Lkiy+ M (kl+ ?)-&&> Hkykz =0,

Nkxkz Nkykz Lkt +M (kl +kl)

(13.15)

где материальные константы L, M, N определяются выражениями (13.12), (13.13) и (13.14).

Секулярное уравнение (13.5) третьей степени относительно є(2). Мы не будем решать его в общем виде, а ограничимся случаем выделенного направления волнового вектора к. Пусть kx Ф 0, ky = kz = 0, тогда (13.5) приобретает вид

Lkl-&< ч 0 0

О Mkl- е(2) ®

О 0 Mix- е<2>

=0, (13.15а)

откуда \Lkl—z{2)][Mkl—є(2)]2 = 0.

Таким образом, мы имеем три корня уравнения (13.15а):

ST = Lk2x, e«> = ef =Mfc2, (13.156)

которые полностью соответствуют случаю сильной связи (IV.7.25): Єї = 8 M-Aa2Ul, еа = е я = гм—Ва2Щ.
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 217 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed