Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Pg [V, (S) ^nkj (Г)] = {R11 аг + а„\ [v, (s) Mpntli (г)] =
= 22 D1ri (а, ?, у) Г (г), (12.3)
r=l S=I
где а, ?, у—эйлеровы углы, соответствующие вращению R1 (если вращение несобственное, то его надо заменить собственным вращением, как это указано в конце § 10); спиновая матрица D1 определяется выражением (10.31), Г (g)— неприводимое представление группы Gk размерности dn, соответствующее элементу g пространственной группы волнового вектора Jfe. Из определения (П.3.49) видно, что
D1ri К ?, V) Г (g)s/ = (D1X Г)„, if (12.4)
— матричный элемент прямого произведения двухрядной матрицы D1 и а„-рядной матрицы T(g).
Из (12.3) и определения оператора P'g (11.6.1а) и (П.6.5в) следует, что матричным представлением группы волнового вектора g?Gk, построенным на базисных функциях (12.1), является 274
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
транспонированная матрица (12.4). Характер этого представления %[DlxY (g)] = %[Dl X Г (g) J = г (Dl)-%[T (g)] =
= 2cos-|cos^±^x[r(g)], (12.5)
где мы воспользовались тем, что шпур прямого произведения матриц равен произведению их шпуров (П.3.52) и выражением (10.31а). Так как матрице D1 (10.31) могут быть приписаны два знака, то разным знакам характеров (12.5) могут быть сопоставлены элементы двойной точечной группы R1 и R1.
Рассмотрим центр Г бриллюэновской зоны в кристалле InSb. Так как в точке Г волновой вектор A = O1 то состояние электрона в ней без учета спина может быть классифицировано по непроводимым представлениям точечной группы Td (см. табл. II.7).
Для определения характеров прямого произведения (12.5) необходимо определить характеры матрицы D1, соответствующие разным элементам R1 группы Td. Воспользовавшись табл. IV.2 и формулами (10.25а), (10.256), определим соответствующие углы Эйлера (они окажутся одинаковыми для всех элементов одного класса Td); после этого по формуле (10.31а) определим характеры матрицы D1.
Учитывая оба знака в (10.31а) и то, что %(Rt) = —%(R[)> можно определить характеры прямого произведения (12.5) для всех классов двойной группы Td.
Если представление двойных групп [ZJi X Г (g")J приводимо, то это имеет важные физические последствия. Пусть для центра бриллюэновской зоны в антимониде индия Г (g) = Г (\R | ап}) = = Г(/?) = Г16, т. е. реализуется для простой группы неприводимое представление р-образного типа размерности 3. В этом случае прямое произведение ZJxri6—это матрица 6x6. Из табл. IV.9 видно, однако, что спинорные неприводимые представления двойной группы в точке Г в InSb имеют максимальную размерность 4, поэтому представление -DXT16 приводимо. Пользуясь формулой (12.5), определим характеры прямого произведения ЬхГ16 для всех классов двойной группы Td, они приведены в последней строке табл. IV.9, из которой мы сразу видим, что характеры ZJxT16 равны сумме характеров Г, и Г8, т. е.
ZJxr16 = T7+ Г8. (12.6)
Таким образом, шестикратно вырожденное (с учетом спина) состояние в центре бриллюэновской зоны InSb состоит из двукратно вырожденного неприводимого спинорного представления Г, и четырехкратно вырожденного неприводимого представления Г8. Спин-орбитальное взаимодействие снимает это «случайное» вырождение и уровень распадается на два, так что S (Г8)—S (Г,) = $12]
СПИН-ОРБИТАЛЬНОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ В InSb И Ge
275
= A, где А—спин-орбитальное расщепление. Результат (12.6) может быть интерпретирован с точки зрения электронов сильной связи. Атомный электрон в /з-состоянии (азимутальное квантовое число /= 1) характеризуется квантовым числом /, определяющим его полный (с учетом спина) момент количества движения, который равен jfi. Для I = 1 возможные значения / равны 3/2 и 1/2; вырождение этих уровней, равное 2/ + 1, принимает соответственно значения 4- и 2 аналогично (12.6). Под действием спин-орбитального взаимодействия эти уровни в атоме расщепляются. Исследование спектра атома показывает, что четырежды вырожденный терм P3i2 расположен выше дважды вырожденного терма Pif2. Если эта ситуация качественно сохраняется в кристалле, то <?(Г8)—<?(Г7) = А>0.
Составляя все прямые произведения D1XTi(Rl), где Г; неприводимые представления группы Td, и разлагая их аналогично (12.6) на спинорные неприводимые представления Г6, Г7, Г8, получим табл. IV. 15. Мы считаем, что при k = 0 состояние электрона в InSb в валентной зоне и зоне проводимости описывается (без учета спина) неприводимыми представлениями Г„ и T1.
Таблица IV. 15
DXTi= г, DxT2 = г„ DxT12 = T8,
Dxrl6= г7+г8, DxT26= гв + г8
На рис. IV.25 схематически изображены для InSb энергии электрона в центре бриллюэновской зоны и вдоль оси А, с учетом спин-орбитального взаимодействия (б) и без него (а); при этом мы использовали (8.1) и табл. IV.14 совместности.
Г, __ —
"sV^ A3, ^ Ч Ось й 1} Г? ^As "^4 As
а) 6)
Рис. IV. 25.
На рис. IV.25, б наглядно представлена величина спин-орбитального расщепления.
Аналогично табл. IV.15 может быть построена табл. IV.16 разложений прямого произведения DxTi, где Г,- — неприводимые представления простой группы в центре бриллюэновской 276 [ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ (ГЛ. JV
