Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
. Исследуем этот случай посредством критерия Херринга (14.21). Элементы группы Td, точечной подгруппы пространственной группы кристалла InSb, даны в табл. IV.2. Легко видеть, что из них четыре элемента преобразуют ?д—<-—Ад:
Х2п, случай а), О, случай б),
— Х2п, случай в).
(14.21)
Г15 = А1 + А3 + А
4,
R3(Xyj)=Cl Ri(Xyj) = C2, R13(Xzy) = JCi, Rli(Xzy) = JCl.
Далее
Rl = R1(Xyz) = E, Rl = R1(Xyz) = E, R213 = R2 (xy'z) =C2, Rll = R2(XYz)=Cl
13
1J См. статью: Xep ринг К- Влияние симметрии относительно инверсии
времени на энергетические зоны кристаллов./В Сб. Нокс. Р., Голд А. Симметрия в твердом теле.— M., 1970, с. 243). § 15]
СТРУКТУРА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОН ПОЛУПРОВОДНИКОВ
299
Обращаясь к табл. IV.4 характеров группы волнового вектора имеем для представлений A3 и A4
SX (gl) = X (Rl) + X (Rl) + X (Rls) + X (tf3u) = X (E) + X (E) +
+ X (CD + X (CJ) = 1 + 1 — 1 — 1=0,
т. е., согласно (14.21), реализуется случай б). Из (14.21) следует, что как при учете спина, так и в бесспиновом случае состояния A3 и A4 двукратно вырождены, т. е. вдоль оси А не расщепляются.
Если пространственная группа кристалла содержит инверсию J (Ge, Si), то для наиболее общего положения волнового вектора k едк іственньїй элемент g0 = J, тогда 2 X (go) = X (^2) =
So
= % (E) = 1 и в (14.21) реализуется случай а), что при учете спина приводит к двукратному вырождению; это обстоятельство было уже отмечено при обсуждении выражений (13.23) и (13.26).
§ 15. Структура энергетических зон некоторых полупроводников
В настоящее время на основании многочисленных опытов и теоретических исследований определена энергетическая структура ряда полупроводников: германия, кремния, антимонида индия и др. Выяснилось, что практически ни в одном случае энергетический спектр электронов и дырок проводимости не имеет простого параболического характера є = р2/2т*, где т* — скалярная эффективная масса.
Наибольшую информацию об энергетической структуре полупроводников дали опыты по циклотронному резонансу, поглощению света и сопротивлению в магнитном поле. На некоторых из этих опытов мы остановимся в следующих главах.
Одним из наиболее эффективных методов расчета энергетических зон в полупроводниках является метод ортогонализован-ных плоских волн (К. Херринг, 1940), который удачно объединяет приближения почти свободных (см. § 5) и сильно связанных электронов (см. § 7)1). Серьезную помощь в классификации состояний и выборе волновых функций электронов (дырок) проводимости оказывают соображения теории групп, т. е. свойства симметрии, рассмотренные в предыдущих параграфах. Для расчета наряду с аналитическими методами применялись ЭВМ.
і Общее представление о различных методах расчета зонной структуры в твердых телах с соответствующей библиографией можно получить из книги: Цидильковский И. М. Электроны и дырки в полупроводниках.—M., 1972, гл. II. 300
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
Такие расчеты для германия и кремния были проведены Херманом с сотрудниками (1953). При расчете пришлось ограничиться вычислением энергии в некоторых симметричных точках зоны Бриллюэна, для которых выкладки сильно упрощаются. Значение энергии для промежуточных точек получено интерполированием.
Для германия и кремния бриллюэновская зона имеет форму четырнадцатигранника, изображенного на рис. IV.22. Оси х, у, г проходят через центры шести квадратов и совпадают с кристаллографическими осями [100], [010], [001] и т. д. Оси, направленные к точкам L—центрам шестиугольников, совпадают
с осями [111
2я
ординаты: —
[111] и т. д. (точка L на рис. IV.22 имеет ко-
т. е. kx = k = kz = —, где а—ребро куба
V а
11 1
2 2 ~2 _
прямой решетки).
На рис. IV.28 дана качественная картина зонной структуры германия (а) и кремния (б) (без учета спин-орбитального расщепления); оси ГДХ и TAL соответствуют направлениям [100] и [111]; заштрихованная часть—запрещенная зона.
Как показывают расчеты и опыт для Ge и Si для дырок в центре валентной зоны (A = O) реализуется трехкратно вырожденное (без учета спина) состояние Г^.
Центру зоны проводимости (A = O) для Ge соответствует невырожденное состояние с наименьшей энергией Га, а для Si — трехкратно вырожденное состояние Г15.
Пользуясь табл. III.5 совместности, легко определить характер расщепления состояний электрона (дырки) при переходе из центра Г на оси А или Л (при выходе на поверхность зоны Бриллюэна нужна, ввиду несимморфности пространственной группы Ge и Si, некоторая осторожность; см. конец § 9).
Ширина запрещенной зоны у германия E0 = ^(L1)—? (]? = = 0,8 эв; у KpeMHHH-E0 = ^(A1)—(?(1^) = 1,1 эв.
Зона проводимости кремния имеет шесть симметрично расположенных минимумов энергии в точках на осях А, т. е. в направлениях [100]. В зоне проводимости германия имеется восемь минимумов энергии на границе зоны Бриллюэна в точках L, т. е. в направлениях [111]х). Изоэнергетические поверхности энергии е (A) =const вблизи этих минимумов имеют вид эллипсоидов вращения (§ 3, п. 3) с осью симметрии, направленной у кремния вдоль [100J, а у германия—вдоль [111].
