Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Выражение в квадратных скобках в (1.12) можно рассматривать как оператор ехр(—rV).
Подставляя в (1.12) г = ат, получим
/?(«.--«») = е~вя,*/И«|)- (1-13) 308 ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОНА [ГЛ. V
В (IV.3.10) было отмечено, что
Znik) = (1.14)
т'
(поскольку в (IV.3.10) I = [I1, I2, 1а} принимают как положительные, так и отрицательные значения, всегда можно изменить знак у показателя экспоненты). Подставляя (1.13) и (1.14) в (1.11), получим
-Lvw P~iamV и (п Л <«m-«m-> =
к т'
; ь Iп ^т'^тт'— ^^ Wn0 m^
т т'
Pnial), (1.15)
где мы воспользовались (П.6.8). Сравнивая последнее выражение с (1.14), видим, что (1.11) равно
в„(-і V)/?(«/)• (1.16)
Это выражение аналогично (IV.3.12). Объединяя (1.16) и (1.9), получим
En (- ІV) fk Cat) + 4L ((H) рп (a,) = Sifin {at). (1.17)
Для определения «плавной» функции fln(r), принимающей в точках r = at значение fh(at), получим дифференциальное уравнение
(- IV) Pn (Г) + 41 (г) Pn (г) =SiPn (г). (1.18)
Это уравнение и определяет искомые коэффициенты в разложении (1.6). Оператор En (—i'V) имеет тот же смысл, что и в уравнении (IV.3.13).
Если энергия En(k) в точке Jfe = O обладает минимум (максимумом) и сферически симметрична,%то в квадратичном приближении En(— I'V) = — (Й2/2т*) V2 (см. (IV.3.22а)); тогда для сферически симметричного поля 4L (г) = 4L (г), уравнение (1.18) приобретает вид
-ІГ* ^fn С) + % (') и=M С). (1 •18а)
т. е. является волновым уравнением для частицы с эффективной массой т* в центральном поле 4L (г). Более общий вид рассмотрен в гл, IV, § 3, п. 3.
Если электрон притягивается к примесному центру в поле 4L (г) (донору), то он может быть захвачен на локальный уровень, лежащий в запрещенной зоне ниже зоны проводимости. Если же электрон отталкивается от примесного центра в поле 4L (г) (отрицательного иона акцептора), а следовательно, дырка притягивается к этому центру, она может быть захвачена на локальный уровень, лежащий в запрещенной зоне выше валентной зоны. gl] ФУНКЦИИ ВАНЬЕ 306
3. При выводе уравнения (1.18) было использовано предположение о медленном изменении добавочного поля 4L(г). Рассмотрим метод, который может быть применен в том случае, когда 4L (г) изменяется так быстро, что можно считать, что 4L (г) отлично от нуля только в пределах одной кристаллической ячейки. В этом случае более удобно разлагать возмущенную волновую функцию электрона Ф,- (г) по блоховским волновым функциям Tpft (г) = Uft (г) exp (ikr) (мы используем блоховские функции одной энергетической зоны):
ф i(r) = I,ft(k')Vv(r), (1.19)
k't
где суммирование по ft' распространяется на все его квазидискретные значения в пределах 1-й бриллюэновской зоны. Подставляя выражение (1.19) в уравнение (1.5), умножая слева на грй(г) и интегрируя по г, получим
• J 4? (Г) [Жо + 4L (г)] 2 п (ft') Vv (г) dx = ft'
= &$/i(*')S4>;(r)4v(r)dT, (1.20)
где §Сй — — 2m V2 + ^(r) — невозмущенный гамильтониан.
Так как = є (ft') грй- и, кроме того, блоховские функции
ортонормированы, то (1.20) равно
е (ft) д. (ft) + 2 и (*') S Ч>; (Г) 4L (г) ^ft- (г) dT = (ft). (1.21) k'
Заменим в интеграле этого равенства блоховские функции на функции Ванье (1.2), тогда
J Ч»; (г) IZ (г) Vv (г) dx =
= IfLei" {а"'ап) IV {r~<> ^ <г> tP (г dT-
пп'
Если возмущение 4L (г) отлично от нуля только в пределах одной, например нулевой, ячейки кристалла1), то в двойной сумме достаточно учесть один член с п = п' = 0, и мы получим вместо выражения (1.21)
Є (A) ft (k) + ^ L fi <*'> = <*>• (1 -23)
к'
где 410—среднее значение возмущающего потенциала 41 (г) по объему нулевой ячейки, вынесенное из-под интеграла в (1.22).
Очевидно, что для безграничного кристалла результат не зависит от того, в какой ячейке сосредоточено возмущение cU (г). 310
ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОНА
[ГЛ. V
Обозначая постоянную ^ (A') = А, получим из выражения (1.23)
f< (L24>
Подставляя этот результат в уравнение (1.23) и сокращая обе части равенства на неизвестную константу А, получим
E ^V=T(F)= ^ (1'25)
ft'
— уравнение для определения собственных значений энергии Si при данном возмущении Левая часть (1.25) равна сумме
дробей вида [(?,-—е (A1)]"1, где A1-одно из N возможных значений волнового вектора А в первой бриллюэновской зоне. Если возмущение Ha = Q, то правая часть (1.25) равна бесконечности и, следовательно, собственные значения энергии электрона Si для идеального сца кристалла совпадают с одним из N значений е (А). Можно показать, что каждому положительному и отрицательному значению cU0 также соответствует N собственных значений Si (і = 1, 2, ..., N). До тех пор, пока |iI^01 меньше некоторой величины, собственные значения Si практически совпадают с невозмущенными собственными значениями е(А). Если же, например, Ч10 < 0 и превышает по абсолютной величине указанное выше значение, то Si, соответствующая нижнему краю энергетической зоны е(0), испытывает сильное возмущение— происходит отщепление уровня от дна зоны. Для cIL0 > 0 аналогичная картина имеет место для верхнего края зоны. На рис. V.1 представлена зависимость собственных значений Si от величины возмущающего потенциала cIL0. Полученные результаты могут быть интерпретированы следующим образом. Электроны вблизи нижнего (верхнего) края энергетической зоны могут рассматриваться как свободные с положительной (отрицательной) массой т*. Известно, что если глубина трехмерной потенциальной ямы | H01 меньше некоторого значения, то частица не имеет в ней связанных состояний1). В этом случае возмущение cU0 только рассеивает частицу, мало изменяя ее энергетический спектр.
