Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ансельм А.И. -> "Введение в теорию полупроводников" -> 99

Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.

Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников — Москва, 1978. — 618 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriupoluprovodnikov1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 217 >> Следующая


Таблица IV. 16

ях Ti=Tj, />хг;=17, Dxr2 = Tj, DxT2 = г,-
Dxra2=T+, DxrJ,= Tg і ?x Tib=T^+г; У
DxTn = Tj X Г J, DxT25= Г^+Гв, 0XT25=rJ + rj

зоны германия; спинорные неприводимые представления двойной группы для Ge даны в табл. IV.11. Мы считаем, что при A = O состояние электрона в валентной зоне и зоне проводимости Ge описывается без учета спина неприводимыми представлениями Г и и П

На рис. IV.26 схематически представлены для Ge энергии состояний электрона в точке A = O и вдоль оси А с учетом

Л?

Ось a 6)

спин-орбитального взаимодействия (б) и без него (а); при этом мы использовали табл. III.5 и IV. 14. Разность энергий состояния rj и нижнего состояния равна спин-орбитальному расщеплению в Ge в точке k = 0.

§ 13. Исследование спектра электронов (дырок) вблизи минимума (максимума) энергии в зоне Бриллюэна

(ftp-метод)

1. В § 5 мы рассмотрели приближение почти свободных электронов, когда возмущением является периодический потенциал решетки, а в § 7 — приближение сильной связи, когда невозмущенным движением электронов является их состояние в невзаимодействующих атомах. Очевидно, что для реальных кристаллов оба приближения неудовлетворительны, поэтому существенное значение имели только качественные результаты, которые вытекали из условий пространственной периодичности решетки (вид волновой функции Блоха, существование зон разрешенной и запрещенной энергии, периодическая зависимость энергии от волнового вектора и др.).

ч



Ось &

Ю

Г*

7 iS

г+

*7

Рис. IV. 26. S ІЗ]

6ПБКТР ЭЛЕКТРОНОВ ВБЛИЗИ МИНИМУМА ЭНЕРГИИ

277

В §§ 8—12 мы, пользуясь теорией групп, исследовали спектр электронов в симметричных точках зоны Бриллюэна. Мы смогли определить для этих точек кратность вырождения и симметрию волновых функций.

Задача определения спектра электрона En (k) во всей бриллюэновской зоне требует интегрирования уравнения Шредингера (3.7). Эта задача весьма сложна даже при применении электронно-вычислительных машин в большой мере из-за трудности задания самосогласованного периодического потенциала V (г).

Однако для полупроводников, у которых обычно число носителей тока (электронов и дырок) мало, достаточно определить их энергетический спектр вблизи минимумов и максимумов энергии в бриллюэновской зоне; в самом деле, если число электронов (дырок) мало, то при не слишком высоких температурах свободные носители сосредоточены в зоне вблизи минимумов (максимумов) энергии. Для определения спектра свободных носителей вблизи экстремумов энергии в бриллюэновской зоне можно применить теорию возмущений. Мы рассмотрим этот вопрос, не учитывая вначале спин-орбитального взаимодействия. Уравнение (3.8) для модулирующей функции unk(r) имеет вид

— 2— V2Unk+V (г) un/t+ — {kp) Unk = [k) Unk. (13.1)

Здесь п — номер разрешенной зоны энергии, поэтому e„(k) — энергия электрона в п-й зоне в точке k\ р=—iky—оператор импульса электрона, т—масса свободного электрона. В точке k = 0 уравнение (13.1) приобретает вид

~& + ^ С) и». = (0) «по- (13.1а)

Для малых значений k члены

K2 k2 . % . /,ол\

15Г+»<*') (13-2)

в уравнении (13.1) можно рассматривать как возмущение.

Пусть экстремум энергии в зоне / расположен в точке ft = 0, т. е. в центре бриллюэновской зоны, и пусть состояние электрона (дырки) в этой точке с энергией E1 (0) == E01 не вырождено. Вычислим из уравнения (13.1) поправку к энергии ег(й)—е" при малых значениях k. Если е° соответствует экстремуму энергии, то линейная поправка к энергии по к равна нулю. Квадратичная по k добавка к энергии состоит из поправки к энергии от %гкг12т в первом приближении теории возмущений и от (A/m) (kp) во втором приближении теории возмущений. Невозмущенные волновые функции и/0(г) = и, удовлетворяют уравнению (13.1а). 278 [ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ (ГЛ. JV

Используя общие формулы теории возмущений для невырожденного состояния1), получим

P (Ъ\ г° (и I I ,Л I ^2 V' <»,\kp\ип> <ип I kp I ui> _ E1(R)-Z1-^U11 2m ^р^о -

(13-3)

a? п eI-Sn

где штрих у суммы означает, что при суммировании опускается слагаемое с п = 1, а и ? пробегают значения х, у, z, так что, например, ра = рх = — і%д/дх при а = х. Матричный элемент

/ І І \ Г „ , & V «, «, л /1 о о \

Щ-Щ- N = -^Tj "<" A = -^r = ^LWaP. (13.3а)

1 1 ^ a?

так как функции U1 предполагается ортонормированными. Полагая

Z1(U)-Bal = (13.4)

a?

где ma?—тензор обратной эффективной массы, получим из (13.3) и (13.4)

-а ^ 6tt? . 2 у' I Pa I ц„> <ц„ | p? [ц,> (13 5)

aP т ' т? ^ є®_е» ' \ • I

где oa? — символ Кроникера. Интересно сравнить (13.5) с выражением (3.19) для той же величины

В кубическом кристалле для скалярной эффективной массы получим

-L=- +4-'^»'У1' . (13.6)

т* т ' m2 ^ ei—en

Так как вп может быть как больше, так и меньше е°, то эффективная масса т* может быть как меньше, так и больше массы свободного электрона т.

Формула (13.6) применима и к случаю, когда экстремум энергии Bl(Ii) расположен не в центре бриллюэновской зоны, а в точке ка\ необходимо только учесть, что в этом случае функции U1 обладают симметрией группы волнового вектора Qu0', поэтому, например, для злекїронов проводимости германия, у которых k0 лежит на оси [111], функция U1 обладает не кубической, а аксиальной симметрией, что приводит к тому, что в кубическом кристалле п-Ge эффективная масса является тензором.
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 217 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed