Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
C1 C2 C3 C4 C6
Ai 1 1 1 1 1
A2 1 1 1 —1 —1
A3 1 1 —1 1 —1
A4 1 1 —1 —1 1
A8 2 —2 0 0 0 270
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
Таблица IV.10
—. — - _
Ri Ri Rti RB R3, Ra> R4 Rtat Rїї R із» R і* Ri9> R2o. Rі®. Rto
х. 2 —2 0 0 VT —VT 0
X, 2 —2 0 0 -VT VT 0
электрон в точке Г может находиться в двух дважды вырожденных состояниях (Гв, Г7) и одном четырежды вырожденном состоянии (Г8), а в точке X — в двух дважды вырожденных состояниях (X6, X7).
Аналогично могут быть рассмотрены двойные группы в точках симметрии бриллюэновской зоны для кристаллов Ge, пространственная группа которого не симморфна.
В табл. IV.11, IV.12, IV.13 даны спинорные неприводимые представления двойных групп в точках Г, А и X для кристаллов Ge. Интересно сравнить эти таблицы с соответствующими табл. III.2, III.3 и IV.6 для простых групп в Ge в тех же точках бриллюэновской зоны. Например, электрон без учета спина мо-
Таблица IV. 11
Rx Ri — ^ 4i ^2 ~ Ri R 6 -Ris Ri ~ R із R їв ~~ R18 Rib — RIB RIB — Rett RIB~RH
rJ r6 i? r7 rJ 2 2 2 2 4 4 —2 —2 —2 —2 —4 —4 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 VT -VT -VT VT 0 0 -VT VT -VT vT 0 0 0 0 0 0 0 0
{«'l 1«} {«IM {«2-«4. «2-^4 I«} -R'u\a) Кз--«и I «} {«u- -ЛІ8І«} {^19 -Wm І a}
re+ re It 1V it 17 2 —2 2 —2 4 —4 —2 2 —2 2 —4 4 0 0 0 0 0 0 і і і 1 1 1 VT VT -VT -VT 0 0 -VT -vT VT VT 0 0 0 0 0 0 0 0 §11] ДВОЙНЫЕ ГРУППЫ B КРИСТАЛЛАХ InSb И Ge 271
Таблица IV.12
R, Ri Ri R lg» R20. Rїв» Rго {«;. к Ri. Rl I а} KV R'u І а} К'з- Ям І а}
д. 2 —2 0 0 0 V2etkba -VTeik^a
дг 2 —2 0 0 0 ^VJ /ftA0t VYeik^i
Таблица IV. 13
Ri Ri Rг. Rг R3, Rt, R1, R1 Ria, R14 ^13. Rii R lg, R2 0, iRis, Rso {«II«} K I «}
Хь 4 —4 0 0 0 0 0 —4 4
K «2 I«} f«з. К «II«} {r'13. r[4 і а} KV <4 И K9. Ru І а} 20" «го і«}
0 0 0 0 0 0
жет существовать в точке X в четырех двукратно вырожденных состояниях X1, X2, X3, Xi (табл. IV.6); при учете спина он может находиться в той же точке, только в одном четырежды вырожденном состоянии X5 (табл. IV.13).
Все таблицы характеров для спинорных неприводимых представлений удовлетворяют отмеченному выше условию: і (Ri) = = —X(Ri), поэтому, если Ri и Ri входят в один класс, то x(Ri)= = X(Rt) = о.
Условия совместности неприводимых представлений, например при переходе из точки Г на линию А, можно определить, пользуясь таблицами характеров.
Например, для InSb
T8 = 2Д5,
что однозначно следует из того, что Г8 имеет размерность 4, a A6 имеет размерность 2. Полагая для Ge
Г+= O1Ae + ^,, 272 [ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ (ГЛ. JV
Таблица IV.14
гв г7 г8 X, X7
A6 Ab A6A5 As A6
а)
1 в 17 г? Г7 1 в г8"
Ae Ae A7 A7 A6A7 A6A7 A6A7
б)
получим из табл. IV.11, IV. 12 (Ад—>О)
A1 = [2.2 + (- 2) (- 2) + 2 0/2) (- V2) + 2(-/2) {УЩ = О, а2 = -і-[2• 2 + (-2) (- 2) + 2 (- V2) (- V2) + 2 (^2) {УЩ = 1,
т. е.
П = A7-
Таким же образом могут быть рассмотрены и остальные условия совместности, представленные в табл. IV. 14 для InSb (а) и Ge (б)1).
§ 12. Спин-орбитальное расщепление в кристаллах InSb и Ge
Ї. Предыдущий параграф был посвящен конструированию двойных групп и определению соответствующих им спинорных неприводимых представлений в некоторых симметричных точках бриллюэновской зоны, в кристаллах InSb и Ge. Сейчас мы рассмотрим представления в центре бриллюэновской зоны Г для InSb и Ge, когда базисными функциями являются произведения спиновых функций на функции Блоха. Эти представления, как мы увидим, могут быть неприводимыми и приводимыми. В последнем случае это позволит определить характер спин-орбитального расщепления в точке Г для InSb и Ge.
1J Более подробно двойные группы в In Sb и Ge рассмотрены в статьях: Эллиот Р. Спин-орбитальное взаимодействие в зонной теории; таблицы характеров для некоторых «двойных» пространственных групп./В сб. Проблемы физики полупроводников.—M.: ИЛ, 1957; Парментер Р. Свойства симметрии энергетических зон в кристаллах со структурой типа цинковой обманки./В сб. Р. Нокс, А. Голд. Симметрия в твердом теле.—M., 1970, Dresselhous G.-Phys. Rev., 1955, v. 100, р. 580. S 12] СПИН-ОРБИТАЛЬНОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ В InSb И Ge 273
Если состояние S„(k) й„-кратно вырождено (без учета спина), Т. е. ему соответствуют dn блоховских функций І|>лА/(г) (/=1, 2, ..., dn), то при учете спина состояние будет 2^„-кратно вырождено и волновыми функциями нулевого приближения будут 2dn произведений:
VnkI {Г) Vt(S). (12.1)
Елоховские волновые функции т|)„й/ (г) удовлетворяют уравнению Шредингера
^ (Г) ^nfli (Г) = Sn (k) Mpnfli (г), (12.2)
где гамильтониан
не зависит от спиновых операторов <тг; поэтому мы можем волновые функции уравнения (12.2) умножить на спиновую функцию V1 (s) так, что
& (г) [Vi (S) Ipnkl (Г)] = Sn (к) [V, (S) W)]- (12.2а)
Пусть элемент пространственной группы волнового вектора Gk есть g = {Ri |аг + а«}, где R1—собственное или несобственное вращение, а осг и ап — несобственная трансляция, соответствующая элементу R1 и вектор решетки. Подействуем оператором Pg (11.6.1а) на обе части уравнения (12.2а). Так как §С (г) инвариантен относительно действия оператора P'g, то ?g[v,(s)ap„ft/(r)J, тоже собственная функция уравнения (12.2а), соответствующая тому же собственному значению S„(k), поэтому (II.7.15)
