Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
§ 10. Спин-орбитальное взаимодействие и двойные группы
1. До сих пор при изучении поведения электрона в кристалле мы не учитывали его спина.
Однако мы знаем, что в атомах взаимодействие магнитного момента спина электронов с их орбитальным движением приводит к расщеплению и смещению уровней энергии атомов. Так, например, взаимодействие собственного магнитного момента валентного электрона с орбитальным движением вызывает у атома натрия расщепление D-линии, равное 0,002 эв (дублет натрия). Для более тяжелых атомов расщепление энергетических уровней больше. Для атомов рубидия оно равно 0,03 эв, а для ртути — 0,23 эв.
Спин-орбитальное смещение в спектрах электронов проводимости в полупроводниках также тем больше, чем больше атомный номер Z. Так, для InSb (Zin =49 и Zsь = 51) оно больше, чем для Ge (ZGe = 32), а для последнего более существенно, чем для Si (Zsi = 14).
Из теории спина электрона Паули известно, что собственный вектор оператора спина
S = \o, (10.1)
где двухрядные спиновые матрицы Паули Icr1, о2, (T3I=O1), в представлении, когда спин направлен вдоль оси х3, равны
и: І)' *¦-(? "«)• MJ -!)• <1М>
Мы видим, что проекция спина на ось X3 имеет значение, равное ±«/2 = sA, где спиновая координата S= ±1/2. Легко показать, что матрицы Паули (10.2) удовлетворяют следующим соотношениям:
ol = I, okat = —OlOk = іая, (10.2а)
где /—единичная матрица второго ранга и индексы k, I, т пробегают значения 1, 2, 3 в циклическом порядке.
Из опыта, а также из строгой релятивистской теории Дирака следует, что со спином электрона связан магнитный момент
Д=— н-Я (10.3)
где
(д,0 = eh?mc (10.3а)
— магнетон Бора.
Рассмотрим взаимодействие магнитного момента электрона ^x0 с его орбитальным движением.
1) Как обычно, индексы 1, 2, 3 соответствуют осям х, у, г. SiOJ СПИН-ОРБИТА ЛЬНОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ 259
При движении электрона в электрическом поле напряженности E на него в системе, связанной с электроном, в нерелятивистском приближении действует магнитное поле1)
tf=[?xf], (10.4)
где V—скорость электрона, а с—скорость света. Если электрон движется в самосогласованном периодическом потенциале кристалла V(г), то
E = у W(г), (10.5)
где е—заряд электрона.
Энергия диполя момента ц в магнитном поле H равна —ці/2), поэтому оператор спин-орбитального взаимодействия, как это следует из (10.3) — (10.5), равен
»H=W [I VFx iL] = _ Jl CT[VFX Vj,
где мы учли, что оператор скорости v = (l/m)p = — (ifi/m) V-Последовательный релятивистский вывод из уравнения Дирака дает вдвое меньшее значение для спин-орбитального взаимодействия, поэтому правильный гамильтониан спин-орбитального взаимодействия равен
^o = -4^°[VFXV]. (10.6)
Таким образом, гамильтониан электрона в кристалле, с учетом спин-орбитального взаимодействия, равен
(10.7)
& {г) =-Ї^Г+V {г), (10.7а)
где
а Sfgt0 равен (10.6). Введем вектор
п %
' 2 Zn2C2
[WX V], (10.8)
тогда гамильтониан (10.7) может быть записан в виде
#Г(ст, r)=&(r)—^P = &t(r)-iSP. (10.9)
Уравнение для собственных значений энергии S имеет вид
Ж(о, r)4(s, r)=tf?(s, г), (10.10)
где S—спиновая координата, принимающая только значения S = ± 1/2, соответствующие проекции спина на ось х3, равны
*) Ландау Л. Д., Лифшиц Ei М. Теория поля,—6 изд., 1973.
2) Тамм И. E., § 56. 260 [ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ (ГЛ. JV
Волновая функция
T(s, г) = TjJ1 (г) V1 (s) -f- (г) V3 (s), (10.11)
где V1(S) и v2(s)—спиновые функции Паули (спиноры), равные амплитудам вероятности того, что спин направлен по +Ar3 или — х3, поэтому
V1(H-V2)== 1, vi(—V2) = 0> v2 (+V2) = 0, v,(-v,) = l. (10.12)
Спиновые функции могут быть записаны посредством матриц с одним столбцом
V1(S) = (J), V2(S) = (J), (10.12а)
что эквивалентно (10.12), и соответственно полную волновую функцию (10.11) можно записать в виде
Координатные части ^p1 (г) и Tp2 (г) волновой функции ^r (s, г) (10.11) будут, вообще говоря, различными, если учитывать связь между спином электрона и его орбитальным движением.
Пользуясь (10.2) и (10.12а) и правилом умножения матриц (П.3.15), получим
0IvI = V2, O1v2 = V1, G2V1 = JV2, (T2V2 = -I-V1,
P3Vi = V1, O3V2 = -V2, (10.13)
C2V1 = (о! + Ol + <т|) V1 = 3v1; CX2V2 = 3va.
Из (10.12) видно, что спиновые функции ортонормированы
2 V,. (S) Vft (S) = Si-*. (10.14)
s = ±V2
Нормируя полную волновую функцию (10.11) на единицу, получим, используя (10.14),
+2 S У (*, г) Y (в, r)dr = \ № (г) TP1 (г) + тр2 (г) тр2 (г)] dr =
S=-Vl
= S[|^(r)|2 + |tp2(r)|2Jdr=l. (10.15)
Гамильтониан Ж (а, г) —Ж (г) — iSP (10.9) инвариантен относительно преобразований пространственной группы кристалла G. В самом деле Ж (г) (10.7а) и скалярное произведение аксиальных векторов SP при таких преобразованиях не меняется (при несобственных вращениях оба вектора SnP меняют знак).
Таким образом, при действии элементов пространственной группы кристалла g={R\a + a) ?0 на обе части уравнения (10.10) необходимо выяснить, как действует g на волновую SiOJ СПИН-ОРБИТА ЛЬНОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ 261
