Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
функцию ^(s, г), а для этого необходимо исследовать, как ведут себя спиновые функции (спиноры) V1 (s) И V2 (s) при вращении координатной системы.
2. Рассмотрим вращение координатной системы вокруг оси X3 на бесконечно малый угол 6а. Обозначим соответствующий оператор вращения через Rx%(8a), тогда
#*,(6а)/(*1. *2> X3) =/(X1+X2Sa, X2-X1Sa, X3)=*
= /(*lf ^2, X3) + ^ X2Sa-^-X1Sa =
= [l— Sa f (xlt х2, х3). (10.16)
Введем оператор момента количества движения
jj| = [rxA = [rxfv]. (10-17)
Тогда
^-? = ^°=!^ (10Л8)
и
Rxt (Sa) = I-^Af3Sa. (10.19)
Вращение на конечный угол а вокруг оси х3 можно представить себе как п последовательных поворотов на бесконечно малые углы Sa = a/n при п—из (10.19) следует
Rx (o) = lim (l—i- M3 « y = (10.20)
' л-* оо \ ft п }
если воспользоваться для предела известным значением1).
Как известно, оператор в показателе экспоненты имеет смысл бесконечного ряда, получаемого при ее разложении, т. е.
RXt(*) = e-iaki'h= 1-^ + 1(^)-... (10.21)
Связь между оператором вращения RXi(а) и оператором момента количества движения M3 (10.20) была получена для орбитального движения (10.17). Можно показать, что она имеет более общий смысл, так как связана с изотропностью пространства. Мы будем считать, что такая связь имеет место и для собственного момента количества движения или спина, т. е.
RXi(a) = e-iaSi,h =е™і'2і, (10.22)
где 5, = (Й/2)аг-—составляющая спина вдоль оси X1.
і) Смирнов В. И., т. I, § 38. 262
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
Применяя (10.22) К СПИНОВОЙ функции V1(S) и используя (10.13), получим
Rx, (a) V1 (S) = e™J2\ (s) = ^
4г+і (4г)3+• • • ] vi W=еа/и vi («)• (1о-23)
1
Общий поворот «штрихованной» системы (х'и х2, х3) относительно «нештрихованной» системы (X1, х2, х3) может быть представлен
тремя углами Эйлера а, ?, у (рис. IV.24). Пусть вначале «штрихованная» система совпадает с , «нештрихованной»; осуществим 'fz для первой следующие три поворота: 1) вращение на положительный угол а вокруг общей оси X3 (X1X2X3—> X1X2X3); 2) вращение на положительный угол ?
вокруг ОСИ X2 (X1X2X3—>¦ X1X2X3) и 3) вращение на положительный
.%,?
X1
Рис. IV. 24.
X3 (X1X2X3
угол у вокруг
~ X1X2X3) 1J.
Очевидно, что: 0^а^2я, O^?^n, 0^у ^2л. При таком повороте (X1X2X3—(-X^X2X2) прямоугольные составляющие радиуса-вектора г = Ix1, X2, х3| преобразуются следующим образом:
k=\
kxk•
(10.24)
Можно показать2), что матрица (aik) имеет следующий вид:
/cos а cos ? cos у— / —sinasinv sin a cos ? cos Y + -j-cos a sin Y —sin ? cos Y
(aik) = [ —cosacos?sinY — \ —sin a cos у — sinacos?sin Y + + cos a cos Y sin ? sin Y
\ cos a sin ? sin a sin ? cos ?
(10.24а)
Если заданы углы а, ?, у, легко определить элементы матрицы aik. Обратная задача, когда дана матрица (aik) и требуется определить углы а, ? и у, решается тоже без затруднений.
1J Заметим, что разные авторы по-разному определяют углы Эйлера, от чего, конечно, зависит вид матрицы (ац,) (10.24а).
2) Дж. Мэтьюз, Р. Уокер. Математические методы физики.— M.:
Атомиздат, 1972, § 15, п. 1. SiOJ
СПИН-ОРБИТА ЛЬНОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
263
Если a33 = cos?T^±l, то
sin? = ±Kl—«Із, cos? = a.
(10.25)
где надо использовать у всех выражений или верхний или нижний знак.
Если a33 = cos?=l, т. е. ? = 0, то
cos(a + Y) = ?n = a22, sin (а + у) = al2 = — а2І. (10.25a)
Если же a33 = cos? =—1, т. е. р = л, то
cos(a—у) = — CL11 = ?22, sin (а—у) = — а12 =— а21, (10.256)
В случае а33 = ±1 можно определить ? и а±у, что оказывается в этом случае достаточным для определения спиновой матрицы D1 (10.31).
Докажем, что
В левой части этого равенства представлены вращения на углы Эйлера а, ? и у, так как они описаны выше, т. е. вокруг осей
х3, X2 и х3. В правой части вращения на углы у, ? и а (в обратном порядке) — вокруг неподвижных осей x3, x2 и x3. Нетрудно убедиться в том, что
В самом деле, в правой части мы последовательно поворачиваем подвижную систему вокруг оси х3 на угол а, затем вращаем вокруг нового положения оси х2 на угол ? и, наконец, возвращаем ось х2 в исходное положение, при котором она совпадает с осью х2. Очевидно, это эквивалентно повороту на угол ? вокруг оси х2, т. е. равенство (10.27) доказано. Умножая слева равенство (10.27) на RX3(a), получим
Я*. WZ*,(?) = Яг, (P) Я,,(«)• (10.27а)
Легко видеть, что
В самом деле, произведение 2-го, 3-го и 4-го множителей правой части равно RXl(y) (доказывается так же, как (10.27)); оставшиеся после этого справа вращения, все производятся вокруг
Rf (T) Я- (?) Rxs (a) = Rxs (а) Rx, (?) Rx (у). (10.26)
х3
Rx2 (Р)=я;з1(а) Rf1(V)RxA а).
(10.27)
Rx3 (у) = Rx,1 (а) Rl1 (?) R= (у) Rxi (?) Rxi (а). (10.28) 264 [ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ (ГЛ. JV
оси Хз, откуда прямо следует (10.28). Перемножая теперь левые и правые части равенств (10.28) и (10.27а), получим соотношение (10.26), которое нам нужно было доказать.
Из (10.26) и (10.22) следует, что оператор наиболее общего вращения Rl Ia, ?, у), действующий на спиновые функции, равен
