Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
да можно по общему правилу (гл. II, § 6, п. 4) определить, что произойдет с Гі& при переходе к точкам А и X. Аналогично тому, как мы поступали в гл. III, § 8, при исследовании расщепления спектра колебаний получим, используя табл. IV.4 и табл. IV.5:
ri5 = Af+A3+A4 (8.1)
Tib = X3 +X6. (8.2) J 9] ГРУППЫ ВОЛНОВОГО ВЕКТОРА ДЛЯ РЕШЕТКИ ГЕРМАНИЯ 253
Дальше будет показано, что состояния A1s и A4 не расщепляются на оси А из-за дополнительной симметрии, связанной с инвариантностью уравнения Шредингера относительно обращения времени (t—>¦—t) (см. ниже § 14, п. 4), поэтому электронный спектр в InSb может иметь вид, изображенный на рис. IV.23.
Так как мы можем определить не только кратность вырождения, но и симметрию волновых функций состояний в точках А и X, то становится очевидной ценность информации, полученной из группового анализа для численных расчетов электронного спектра в кристаллах InSb.
§ 9. Группы волнового вектора для решетки типа германия *)
Существенной особенностью решетки германия является наличие у нее элементов симметрии, содержащих несобственную трансляцию a = Y (1, 1, 1) (гл.. II, § 5, п. 2); это связано с тем, что
в противоположность InSb все узлы решетки заняты теперь атомами одного сорта (Ge). Бриллюэновская зона и в случае германия имеет вид четырнадцатигранника, изображенного на рис. IV.22.
Решетка германия принадлежит кристаллическому классу Oh. Пространственная группа германия состоит из элементов 1 а} и {#,'|a-f-a} (t = 1, 2, ..., 24); здесь Ri—элементы точечной группы
Td (см. табл. IV.2), Ri = JRi (У —инверсия), a = -J(l, 1,
несобственная трансляция и а = ап—вектор решетки. Выберем узел решетки А на рис. 1.12 за начало правой системы прямоугольных координат и направив оси х, у, z по ребрам куба (ось z вниз); основные векторы alt а2, а3 направим из Л к центрам прилегающих граней, т. е. к узлам 2, 4, 3; в этом случае можно основные векторы решетки записать через прямоугольные составляющие в следующем виде:
Al = |(l, 1, 0), «2=|(0, 1, 1), «з = 1(1. !)•
Хотя элементы Ri и являются преобразованиями симмет-
рии кристалла, они не образуют групп. Это следует из того, что произведение двух элементов такой совокупности, вообще говоря,
*) При изложении §§ 9—12 мы близко следуем книге Solid State Theery./Ed. by P. Т. Landsberg.—London, 1976. 254
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
может не принадлежать той же совокупности. Например: {R'i (хуг) I a} {Rl (угх) | а} =
і, 1)+1-0, і, о =
= tf7 + |(_l, 1, 1) + |(1, 1, l) = tf,+-J(0, 1, 1), (9.1)
где Y (О, 1, 1 ) = a2— вектор решетки. (Для определения произведения R12Rr5 = R1 и действия 1, l) = j(—1, 1, 1), мы
воспользовались тем, что Rti = JRh и таблицей преобразований координат (табл. IV.2). Из (9.1) действительно видно, что произведение R7 + a2, поскольку а2—вектор решетки, не принадлежит совокупности Ri, {/?t'|cc}, т. е. последняя не образует группы.
Из (II.9.28) и (II.9.35) следует, что в центре бриллюэновской зоны (Jfe = 0) неприводимые представления группы волнового вектора Г (g) = Г ({/?|сс + а}) совпадают с неприводимыми представлениями кристаллографической группы Г (R). Из табл. III.2 для характеров группы Oh следует, что в центре бриллюэновской зоны германия (и других кристаллов кубической группы) возможны только следующие состояния электрона: 4 невырожденных (Гц Г2, Гц Г2), 2 дважды вырожденных (Г12, Г^2) и 4 трижды вырожденных (Г16, Г25, V15, Г25). Симметрия волновых функций этих 10 состояний дана в табл. IV.3). И в этом случае мы, применяя теорию групп, получаем ценную информацию о возможных состояниях электронов в центре бриллюэновской зоны.
Так как точка А является внутренней для зоны Бриллюэна, то группа волнового вектора k\ может быть описана, как это следует из (II.9.28), неприводимыми представлениями
Г (g) = Г (tf) expect
(общий для всех неприводимых представлений множитель ехр(і?да) может быть опущен). Здесь R—элементы точечной группы, соответствующие преобразованию х—>-х\ они могут быть отобраны по табл. IV.2: R1 = E, R2 = C2i, R19 = JC2, R20 = JC2, R3 = JC2i, Ri = JC42, R113 = Ci, Ru = Ci. Эта группа восьмого порядка изоморфна с группами Civ, Di и D2i. В табл. 111.3 представлены характеры этой группы, состоящей из пяти классов. Для того чтобы получить таблицу характеров группы волнового вектора в точке А, достаточно, как это следует из (II.9.28), 3-й и 4-й столбцы табл. ІІІ.З (связанные несобственной трансляцией), помножить на множитель ехр (ik\o).
Пусть электрону в центре бриллюэновской зоны соответствует неприводимое представление Г15, т. е. он находится в трижды вырожденном р-образном состоянии. Что произойдет с ним при J 9] ГРУППЫ ВОЛНОВОГО ВЕКТОРА ДЛЯ РЕШЕТКИ ГЕРМАНИЯ 255
переходе в точку А? Так как расщепление состояния Г15 должно иметь место при сколь угодно малом Ад, то необходимо Ад—»-0, т. е. воспользоваться табл. 111.3. Полагая
T15 = O1A1 + а2 A2 + а[Аі + а;д; + а5А6. (9.2)
получим по общему правилу (II.6.34)
A1=A5=I (9.3)
и остальные коэффициенты в (9.2) равными нулю. Таким образом,
