Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Г„ = A1 + A3, (9.4)
т. е. состояние Г15 расщепляется в точке А на невырожденное состояние A1 и дважды вырожденное состояние A5.
Рассмотрим точку X на пересечении оси х с поверхностью зоны Бриллюэна (см. рис. IV.22), т. е. рассмотрим группу вол-
2л
нового вектора kx = — (l, 0, 0), где а — ребро куба прямой решетки. Поскольку группа волнового вектора kx несимморфна, результаты, полученные в гл. II, § 9, п. 4, неприменимы.
Группа волнового вектора kx состоит из элементов: {R'i\a + am}, где i = l, 2, 3, 4, 13, 14, 19, 20 (табл. IV.2), а Rri = JRl (J — инверсия). Это симметрия точечной группы Dih.
Если Snif1)—<2„-кратно вырожденный уровень энергии в точке X с блоховскими функциями TSpnkxS С) (/ = 1.2, ..., d„), то, как следует из (II.9.12) и (11.6.1а),
Pg^nkxi = [Ri I a,,,) ^nkxi = eikxamR^nkxi =
= 2 Г(Ri)s/ ^nk (9.5)
S = I л
= (9.5а)
S = I л
Заметим, что шестнадцать операций Ri и (i = l, 2, 3, 4,
13, 14, 19, 20) не образуют группу, как уже отмечалось выше.
Используя приведенные выше выражения основных векторов (а,-=1, 2, 3) через прямоугольные составляющие, запишем вектор решетки am = m1a1+m2a2 + m3a3 через прямоугольные составляющие: ат = -j(m1Jrm3, Pi1-JrUi2, т2-\-т3). Экспоненциальный множитель, стоящий в правой части (9.5) и (9.5а), равен
,и . . , Г 1, если т,-\-т2—четное число,
еіЧхат — еіп.(т1 + тг) _ J • lis , ,g^g.
\ —1, если Tn1-sTtn3—нечетное число. 256 [ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ (ГЛ. JV
Обозначая через ag любую трансляцию, для которой eikxae=\, а через а„ любую трансляцию, для которой е>kxan=z — Ji получим из (9.5) и (9.5а), что элементам группы волнового вектора kx:
1 ag) )
= {Ri I an\ I, соответствует
неприводимое представление
(9.7)
г (/?;•), -Г (Rd-
32 матрицы T(Ri), -T(Ri), T(Rl), -T(Ri) (г = 1, 2, 3, 4, 13, 14, 19, 20)образуют неприводимое представление размерности dn группы 32-го порядка, состоящей из элементов Ai, Bi, Ci, D1. Легко показать, что произведение двух элементов (9.7) дает элемент той же совокупности; например:
AiD3 = {Я 21 аг\ {Ri I а + ап} = [R2Rr3 | R2a + R2an+ag) =
где мы воспользовались табл. IV.22).
Мы можем составить таблицу умножения этой группы и, пользуясь последней, определить ее классы. Можно показать, что группа состоит из следующих 14 классов:
C1 = ^1, V2 = A3 +B3 +Ai +Bi, C3 = A2, C4 = Clt + D2a, C5 = C13 + D13+C1^Dli, С. = C^D1 C, = C3+Z)3 + C4+D4, C8 = C2 + D2, C9 = A19 +A20, C10 = A13+ B13+ Ali+ Bli, ;
-Ui
= ?19 + ?20. ^12 = ^20+^19, C13=B2, Cli = B1.
Таблица характеров будет содержать 14 неприводимых представлений. Для определения таблицы характеров (табл. IV.6) могут быть использованы общие соображения, развитые в гл. II, § 6, п. 3.
Однако не все 14 неприводимых представлений могут быть использованы для интерпретации электронного спектра в германии в точке X. Необходимо, чтобы характеры этих представлений удовлетворяли условиям (9.7), а это, как мы сейчас увидим, имеет место только для четырех неприводимых представлений X1, X2, X3 и Xi. Например, характеры неприводимых представлений для элементов Ai и Bi одинаковы по абсолютной
1J Из-за того, что мы пользуемся определением (11.6.1а), неприводимое представление образуют матрицы, транспонированные матрицам, входящим в (9.5) и (9.5а) (см. (Н.6.5в)).
2) Заметим, что все Ri и Ri, входящие в, совокупность (9.7), преобразуют X —»- ± X, поэтому их применение к векторам решетки а„ и ag не меняет их четности (так что JR2Ctn = а„). J 9] ГРУППЫ ВОЛНОВОГО ВЕКТОРА ДЛЯ РЕШЕТКИ ГЕРМАНИЯ 257
Таблица IV.6
C1 C2 C3 C4 C6 Oe C7 C8 G9 C10 O11 O12 Oi3 Oi4
Mi M2 M3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 f 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Mi M5 Mt M7 M3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 —1 1 —1 1 1 1 —1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
M9 M1, Xi X1 Xs Xi 1 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 —2 2 2 —2 —2 1 0 0 0 2 —2 0 0 0 0 0 —2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 —2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 —2 2 0 0 1 0 0 0 —2 2 1 —2 —2 —2 2 2 1 2 —2 —2 —2 —2
величине, но противоположны по знаку (9.7), т. е. % (Ai) і=—I(Bi). Если Ai и Bi входят в один класс, то одновременно ЗС(4-) = Х(Я<). так что X(^1) = X(S1) = O.
Аналогичная ситуация имеет место для неприводимых представлений элементов Ci и Di. Просматривая классы CA (9.8), видно, что для «правильных» неприводимых представлений должны равняться нулю характеры классов C2, C6, Ce, C7, C8, C10, а это имеет место только для представлений X1, X2, Xs и X1. Выделение «правильных» неприводимых представлений можно сделать и по характерам класса СH1=B1, так как
%т = * [{Я I а„}]--Sfi (E)ss = - S в ss = -dn< 0.
№ 1 S=I
Из табл. IV.6 видно, что для C11 этому условию удовлетворяют только четыре неприводимых представления X1, X2, X3 и X1. Таким образом, в кристаллах типа германия (алмазоподобных с атомами одного сорта) в точке X существуют только дважды вырожденные состояния (см. характеры C1==^1, для Xi).
Алмазоподобная решетка сурмянистого индия (InSb), исследованная в предыдущем параграфе, описывается симморфной пространственной группой, не содержащей нетривиальных трансляций. Группа волнового вектора в точке X состоит, как мы видели, из восьми элементов [Ri] ат), где і = 1, 2, 3, 4, 13, 14, 19, 20. В точке X в случае InSb, как видно из табл. IV.5, возможны как невырожденные, так и дважды вырожденные состояния, в противоположность тому, что имеет место для германия. 258
