Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
= ^sinOrcosft, где ft—угол между направлением s (оси z) и
радиусом-вектором г.
Амплитуда рассеяния всеми электронами атома
Ap(t) = A(t)\P(r)e№dx.
Пусть электроны в атоме распределены сферически симметрично, т. е. р = р (г): полагая dx = 2яг2 dr sin & dB, получим для атомного фактора рассеяния, по определению,
CC Jt
f = = 2л j J P (г) r2eiar cos&dr sin ft dft,
о u
где a = ^sino. Интегрируя по ft, получим, как показано ниже,
со
f = ^W (T)^ldrl (4.7)
о
где W (г) dr = 4яг2р (г) dr — вероятное (среднее) число электронов в шаровом слое между г и r-j-dr в атоме.
я
Для вычисления интеграла J eiarcos dSinft dft положим cos ft=*;
о
тогда dx = — sinftdft и пределы интеграла равны +1 и —1. В результате интеграл равен +1
Г eiarx dx = J- (eiar — е~iar) = — Sin аг.
J iar x ' аг
-1
Таким образом, атомный фактор рассеяния f1) равен отношению амплитуды рассеянного всеми электронами атома излучения по некоторому направлению к амплитуде излучения, рассеянного одним электроном в том же направлении.
Величина W (г), входящая в определение f, может быть вычислена квантовомеханически (метод Харти — Фока) или статистически (метод Томаса — Ферми). На рис. 1.18 приведены результаты расчета атомного фактора f для натрия. Для 9 = 0 формула (4.7) дает f = Z (число атомных электронов). Экспериментальное изучение распределения интенсивности вблизи интерфе-
т) В некоторых случаях (Жданов Г. С. Основы рентгеновского структурного анализа.—М.— Л.: Гостехиздат, 1940, с. 300) величина / называется атомной амплитудой, а атомным фактором называется величина /2, которой пропорциональна относительная интенсивность рассеянного излучения. 28 ГЕОМЕТРИЯ РЕШЕТОК И ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ (rjj. I
ренционных максимумов рассеяния (при учете температурного фактора рассеяния) подтвердило с большой точностью теоретические расчеты величины /. Эти же исследования при низких температурах подтвердили наличие нулевой энергии колебания атомов в решетке.
5. Мы вывели интерференционные условия Лауэ (4.1) или эквивалентные им условия Вульфа — Брэгга (4.6), рассматривая
рассеяние на тождественных атомах простой решетки. Как изменятся результаты, если рассмотреть рассеяние на сложной решетке с базисом, содержащим s атомов, положение которых относительно начала координат ячейки определяется векторами
rn = unal + vrla2 + wna3 (л = 1, 2, ..., S).
Так как подрешетка для каждого tt-го атома ячейки имеет те же трансляционные векторы U1, а2 и а3, то она дает интерференционные максимумы, определяемые тем же соотношением (4.1), как и для атома с п=1, расположенного в узле (начале координат ячеики;. иднако в силу когерентности излучения необходимо учесть фазовые соотношения при рассеянии от разных подрешеток. Введем структурную амплитуду рассеяния F [hkl), равную отношению амплитуды рассеяния в максимуме интерференции (hkl) от всех подрешеток к амплитуде рассеяния в том же направлении от одного электрона.
Если /„ — атомный фактор рассеяния п-го атома, то
F (hkl)= 2/Л (4-8)
я«= 1
где Ф„ — разность фаз для лучей, рассеянных на п-м атоме и атоме, расположенном в начале координат ячейки (я=1). При этом нас интересует интерференционный максимум, определяемый условиями (4.1) с gL=h, g2 = k и ?3 = Z.
Совершенно аналогично вычислению Ф в предыдущем разделе имеем, учитывая (4.1),
фп = X г" —я) = T + v"a2 + w'?з) =
= 2 n(hun + kun + lwn). (4.9)
о O? 0( O? Ofl sin9
к
Рис. 1.18.
5 4]
ФОРМУЛЫ ЛАУЭ И В УЛЬФА — БРЭГГА
29
Из (4.8) и (4.9) следует, что структурный фактор рассеяния, определяющий интенсивность рассеяния, равен
3
I F (hkl) I2
2 L cos 2л (hu„ f kv„ + twn)
л = 1
+
+
ns\n 2л (h,un + kvn +Iwn)
Если все атомы кристалла одного сорта, то Z1 = Za
S
Zr (hkl) = Z 2 е2Л' = /s,
«=1
гдё
5= ~^е2яЦПип + кип + 1шп) ^ п= 1
(4.10)
= Z и
(4.11) (4.11а)
Рассматривая решетку центрированного куба как сложную, с базисом (0, 0, 0; 1/2, 1/2, 1/2), получим
5 = і + елі (fc+ft+o.
Если h + k + l — нечетное число, то ei7l{tlik+l) = —1 и 5 = 0, т. е. интенсивность соответствующих максимумов равна нулю.
Таким образом, в объемноцентрированной кубической решетке, состоящей из атомов одного сорта, не будут, например, наблюдаться максимумы интерференции (100), (111), (210), (300) и т. д. Конечно, для решетки объемноцентрированного куба этот же результат можно получить, не пользуясь понятием структурной амплитуды, если выделить элементарную ячейку, соответствующую простой решетке. ГЛАВА II
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ
§ 1. Введение
1. В физику и, в частности, теорию полупроводников все более проникают методы теории групп.
Несмотря на то, что теория групп и ее применение к физике изложены в ряде монографий и учебников1), мы сочли необходимым посвятить ей отдельную главу.
Во-первых, большинство книг по теории групп написано слишком сложно и содержит слишком много материала, во всяком случае, для физиков-экспериментаторов. Во-вторых, мы не ставим себе целью обучить читателя применению теории групп, как это делает большинство книг, а хотим только ознакомить его с тем минимумом, который необходим для понимания дальнейших глав книги и современных статей по физике полупроводников.
