Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ансельм А.И. -> "Введение в теорию полупроводников" -> 8

Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.

Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников — Москва, 1978. — 618 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriupoluprovodnikov1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 217 >> Следующая


Из условия (3.8) видно, что вектор Ь1 перпендикулярен векторам аг и а3, вектор Ь%—векторам O1 и а3, вектор o3 — векторам O1 и а2. Если элементарная ячейка прямой решетки имеет форму прямоугольного параллелепипеда, то векторы blt b2, bs параллельны соответственно векторам а1г а2, а3 и 0(- = 2я/я(-. Очевидно, что если прямая решетка простая кубическая, то обратная решетка тоже простая кубическая с = b2 = b3 = 2л/а.

Представление об обратной решетке возникло непосредственно из задачи разложения в ряд Фурье функции, обладающей периодичностью прямой решетки. В дальнейшем мы увидим, как понятие об обратной решетке плодотворно используется при рассмотрении дифракции рентгеновских лучей в кристаллах, при исследовании колебаний атомов в кристаллах и при квантово-механическом изучении движения электрона в периодическом поле.

2. Введем важное понятие о миллеровских индексах (hkl), тесно связанное с представлением об обратной решетке.

Представим себе в кристалле плоскость, проходящую через центры атомов. На рис. 1.14 изображены четыре такие плоскости, ориентированные различным образом относительно элементарной ячейки простой кубической решетки. Положение

Рис. I. 14.

(ориентацию) плоскости в кристалле, проходящей через атомы, будем характеризовать миллеровскими индексами (hkl), которые определим следующим образом. Пусть целые числа s1, s3 и S3 измеряют в единицах а,, а2 и а3 три отрезка, отсекаемых плоскостью по координатным осям а,, а2 и а3. Составим отношение і і і

—: —:— и выразим его через отношение трех наименьших це-

S1 S2 S3

лых чисел. Последние и носят название миллеровских индексов (hkl). Таким образом, h:k:l = — : — :—. На рис. 1.14, а изобра-

S1 S2 S3

жены оси alt а2 и а3. Очевидно, что заштрихованная плоскость

1J Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начало тензорного исчисления.— 9 изд.— M.: Наука, 1965. §3]

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ РЕШЕТКИ КРИСТАЛЛА

23

тіл 111111

на рис. 1.14, а имеет миллеровские индексы—: — : — =—:—:—=

= 1:0:0, т. е. (hkl) = (100). Аналогично заштрихованные плоскости на рис. 1.14,6,6 и г имеют миллеровские индексы (110), (111), (111), где 1 означает минус единицу и соответствует тому, что заштрихованная плоскость в случае 1.14, г отсекает отрезок а по отрицательной оси а3. Очевидно, что заданные миллеровские индексы (hkl) определят не одну плоскость, а целое семейство параллельных плоскостей. Легко убедиться, например, в том, что (Jikl) = (hkl).

Совокупность физически эквивалентных плоскостей, например всех шести граней куба, обозначается символом {100}. Направление прямой в кристалле, проходящей через центры атомов, указывается символом [uvw], где и, v и w—три наименьших целых числа, отношение которых u:v:w равно отношению длин (в единицах alt а2 и а3) составляющих вектора по осям alt аг и а3, направленного вдоль данной прямой. Так, например, ось X на рис. 1.14, совпадающая с вектором alt имеет символ [100]. Направлению объемной диагонали куба, проходящей через начало координат, соответствует символ [111]. Физически эквивалентные направления в кристалле обозначаются символом <uvwy. В кубическом кристалле направление [uvw] перпендикулярно плоскости (uvw), что не имеет места в кристаллах более низкой симметрии.

Докажем Два важных положения. Построим в пространстве прямой решетки, узлы которой определяются векторами ah обратную решетку, узлы которой определяются векторами bj, ориентированными относительно а,- согласно формулам (3.8). Конечно, масштаб векторов O, остается при этом произвольным, так как они имеют размерность см-1. Докажем теперь, что вектор обратной решетки 0^ = ^1^ + ^2^2 + ^3^3 перпендикулярен плоскости с миллеровскими индексами (hkl), если g1'.gi-g3 — h\k\l. Очевидно, что концы векторов ajh, a2/k и a3jl лежат на плоскости (hkl), поэтому векторы (^y—^fj и —j лежат в плоскости (hkl). Возьмем вектор bhkl = hb1-\-kb2-\-lb3, параллельный вектору bg, и докажем, что Ьш перпендикулярен плоскости (hkl). Для этого достаточно убедиться в том, что скалярные произведения

Ьш (?-?) = ^ + kb- + /&з) (?-?) = 0, ьш {т~т) = ClftI+kb>+lb^ (т~т) =

как это следует из (3.9).

Докажем, во-вторых, что расстояние Uhkl между соседними плоскостями семейства (hkl) равно 2лIbhkl. Пусть п = Ьш/Ьш — 24 ГЕОМЕТРИЯ РЕШЕТОК И ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ (rjj. I

единичный вектор нормали к плоскостям (hkl). Тогда

aM- (?») =TT^Tі«х +^i + ».) = ^ •

Проверим, что расстояние между плоскостями (100) в кубической решетке равно постоянной решетки а. Действительно, в этом случае Ьш = 6100 = Ьг = 2я/а и, следовательно, ^100 =

— 2яIb100 = а. Так же просто может быть вычислено расстояние между плоскостями (111) в кубической решетке: bni = VbijTb\ + ^jj=

— 2пУ'51а, т. е. dm = 2я/Ьш = а/J/3.

§ 4. Формулы Лауэ и Вульфа — Брэгга для дифракции рентгеновских лучей в кристалле.

Атомный и структурный факторы рассеяния

1. Рассмотрим условия дифракции рентгеновских лучей в кристалле по Лауэ. На рис. 1.15 изображены два атома О и А,

разделенные трансляционным вектором U1. Падающий в направлении п (п = 1) пучок рентгеновских лучей рассеивается атомами по всем направлениям. Рассмотрим рассеянный пучок RS в таком направлении, определяемом единичным вектором Zt' (п' = 1), для которого лучи IAR и KOS усиливают друг друга в результате интерференции. Для этого необходимо, чтобы их геометрическая разность хода ВО + ОС равнялась целому числу волн, т.е. ВО + ОС = — (At1Zi) + (Ar1Zi') = «1 (л'—п) =^g1I, где ^1-произвольное целое число. В трехмерной решетке условие интерференционного усиления пучка должно одновременно выполняться для всех атомов кристалла, соответствующих трансляциям Ci1, аг и а3. Это даст следующие условия интерференции Лауэ:
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 217 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed