Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Мы приходим к следующим правилам отбора. В дипольном приближении вероятность поглощения света при переходе между s-состояниями равна нулю. Если же переходы совершаются между S- и р-состояниями, то она отлична от нуля.
Теория групп позволяет ответить на вопросы, подобные рассмотренным в пунктах А и Б, и в значительно более сложных случаях. $2}
ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
33
§ 2. Элементы абстрактной теории групп
1. Группой называется конечное или бесконечное множество различных элементов: А, В, С, ..., Р, Q1 R ..., удовлетворяющие следующим четырем свойствам.
1. Для каждой пары элементов, взятых в определенной последовательности, определено действие умножения1), в результате которого произведению сопоставляется определенный элемент того же множества. Например, произведение элементов В на А нашего множества равно элементу того же множества С, что записывается так: AB = C2).
Примечание: В общем случае произведение элементов группы непереместительно (некоммутативно), т. е. АВфВА\ если же все элементы группы коммутируют между собою, то группа называется абелевой или коммутативной.
II. Для произведения элементов группы справедлив сочетательный (ассоциативный) закон, т.е. (AB)C = A(BC).
III. Множество элементов группы должно содержать элемент, называемый единичным (мы будем обозначать его Е), обладающий свойством ER = RE = R, где R — любой элемент группы.
IV. Для каждого элемента группы Q должен среди элементов группы существовать обратный элемент (мы будем обозначать его Q-1) такой, что Q-1Q = QQ^ = E.
Примечание. Покажем, что (ABC)'1 = С~1В~1А~1. В самом деле, (ABC)*1 (ABC) — Е: умножая обе части последнего равенства справа на С-1, затем на ?-1 и затем на A-1 и иепользуя сочетательный закон, получим требуемое.
Заметим, что число элементов конечной группы называется ее порядком.
2. Примеры групп.
А. Целые положительные и отрицательные числа и нуль образуют бесконечную (абелеву) группу, если под умножением в группе понимать алгебраическое сложение. Единичный элемент в этом случае равен нулю (E = O), обратный элемент для элемента (числа) Q равен —Q.
По отношению к обычному умножению целые числа группы не образуют, так как обратный элемент 1/Q не является целым числом, т. е. не входит в группу.
Bv. Множество всех положительных рациональных чисел об-разуёт бесконечную абелеву группу относительно обычного арифметического умножения. В этом случае единичный элемент ? = 1, и если Q = AlB1 то Q-1 = B/А.
1) Мы не будем писать слова «умножение», «произведение» в кавычках, хотя соответствующее действие может быть весьма далеким от обычного умножения в алгебре.
2) В произведении множители читаются справа налево. 34 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il
В. Совокупность векторов а образует бесконечную абелеву группу, если умножением в группе является геометрическое сложение векторов: а-\-а' = а". Единичный элемент Е = а = 0\ обратный элемент (а)'1 = — а.
Г. Поучительным примером группы являются вращения равностороннего треугольника 123 (рис. II. 1) с неподвижным центром О, приводящие к совпадению его с самим собой (операции самосовпадения). Высоты треугольника la, 2Ь и Зс пересекаются в центре треугольника О и являются одновременно его биссектрисами и медианами.
Введем следующие обозначения для операций самосовпадения треугольника:
1) вращение на 180° вокруг высоты Ia — А;
2) вращение на 180° вокруг высоты 2Ь— В\
3) вращение на 180° вокруг высоты Зс—С;
120° = 2л/3, по часовой стрелке, вокруг к треугольнику, проходящей через
Рис. II. 1.
4) вращение на угол оси, перпендикулярной центр О—D\
5) вращение вокруг той же оси и в том же направлении, как и в предыдущем случае, на угол 120°х2 = 240° = 4л/3 (это же перемещение .можно представить себе как вращение вокруг той же оси против часовой стрелки на отрицательный угол 120° = 2л/3)— F;
6) отсутствие перемещения треугольника или вращение его на угол 2л вокруг любых осей — Е.
Наряду с рассмотренными операциями вращений имеются также операции симметрии, связанные с отражением в плоскостях, перпендикулярных к плоскости треугольника, проходящих через высоты 1а, 2в, Зс. Мы будем, однако, рассматривать группу 6-го порядка, состоящую из одних вращений А, В, ...
Следует отметить, что операция самосовпадения тела может рассматриваться с двух эквивалентных точек зрения: 1) координатная система (ху) неподвижна, перемещается тело; с этой точки зрения операция D, например, есть вращение треугольника на 120° по часовой стрелке, так что вершины треугольника переходят друг в друга по схеме: 1—*2, 2—^3, 3—>-/; 2) тело неподвижно, но перемещается координатная система: с этой точки зрения операция D есть поворот координатной системы на 120° против часовой стрелки. Иногда будет удобнее пользоваться $2}
ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
35
одной точкой зрения, иногда другой. Надо только помнить, что все определяется относительным перемещением тела и координатной системы.
Под произведением AB понимается последовательное применение вначале операции В, затем операции А (аналогично действию операторов на функцию). При этом все оси вращения сохраняют свое положение, не перемещаясь вместе с треугольником. Изобразим произведение AB посредством схемы:
