Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
(4.1)
(4.2)
Af1 (Zi7-Zi)^g1Ji1 aa(z»'—zi) = g2Ji, a3(ti'—-n) =g3J-,
которые могут быть записаны в более привычном виде: а} (Cosa1—Cosa1) = g1Ji, а2 (Cosa2—cosa2) = g2X, а3 (cos a3—cos a3) = g8 Ji,
если ввести углы OLi и а\ между направлениями падающего и рассеянного лучей и кристаллическими осями alt т. е. положить a, Jl = а і cos а,- и а(п' = а,- cos а
Из (4.1) следует, что вектор 2я —yj удовлетворяет тем
же уравнениям (3.7), что и вектор Ь. Отсюда следует, что
2« г-т)-А.
(4.3) 5 4]
ФОРМУЛЫ ЛАУЭ И В УЛЬФА — БРЭГГА
25
где bg = g1b1 jTgJbijTgsb3-вектор обратной решетки. Условие
(4.3) можно рассматривать как эквивалентное уравнениям Лауэ (4.1) или (4.2).
Введем, по определению, волновой вектор k = п. В этом CJty-
л
чае условие (4.3) приобретает вид
k'—k = bg. (4.4)
Так как k' = k, то из (4.4) следует: № = k"1 = (bg + ft)2 = b\ + + k* + 2(bgk), откуда
V2o| + (^) = 0, (4.5)
что, конечно, также эквивалентно (4.1) и (4.3).
2. Покажем, как могут быть в пространстве обратной решетки геометрически интерпретированы условия Лауэ в форме
(4.4). На рис. 1.16 изображена для наглядности плоская обратная решетка. Построим из произвольного узла О обратной решетки вектор —k и из начала его R опишем окружность радиуса k = 2n/K (сфера Эвальда). Если эта окружность (сфера) пройдет непосредственно вблизи другого узла S обратной решетки, то
вектор RS равен k'—волновому вектору рассеянного пучка, усиленного интерференцией. При этом
вектор обратной решетки OS равен bg, удовлетворяющему равенству (4.4). Таким образом, конструируя сферу Эвальда в пространстве обратной решетки, мы можем определить графически все направления, по которым будут наблюдаться интерференционные максимумы.
3. Условия интерференции рентгеновских лучей Лауэ (4.1)— (4.5) могут быть сформулированы в ином виде. Проведем прямую (плоскость) PQ, перпендикулярную вектору обратной решетки bg =OS (рис. 1.16). Как было показано в конце предыдущего параграфа, эта плоскость в пространстве прямой решетки определяет атомную плоскость с миллеровскими индексами (hkl), где h '.k:l = g1\g2:g3. Обозначая общий множитель чисел gt, g2 и g3 через п, имеем bg = nbhkl. С другой стороны, расстояние между соседними плоскостями (hkl) равно d = 2n/b^k[ = 2nn/bg. Рассмотрим теперь треугольник ORS. Обозначая угол &.QRS через 0,
2я
имеем OS = 2RSsinOилиbg=2ksino=2-j-sino. Вводяв последнее равенство величину d, получим формулу Вульфа — Брэгга
2dsin0 = nX. (4.6) 26 ГЕОМЕТРИЯ РЕШЕТОК И ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ (rjj. I
Из рнс. 1.16 видно, что падающий пучок к и рассеянный к' формально можно рассматривать как зеркальное отражение пучка от атомной плоскости PQ с миллеровскими индексами (hkl). Таким образом, условие Вульфа — Брэгга (4.6), эквивалентное условиям Лауэ (4.1), формально можно рассматривать как зеркальное отражение лучей от атомных плоскостей кристалла под углами 9, удовлетворяющими соотношению (4.6).
4. Введем понятие об атомном факторе рассеяния /, учитывающем при рассеянии рентгеновских лучей распределение электрического заряда в атоме, Пусть p(r)dx—среднее число
электронов в объеме атома dr. Очевидно, что ^ р dr=Z—полное число электронов в атоме. На рис. 1.17 изображен центр атома
О и элемент его объема dx, положение R которого в точке А определяется радиусом-вектором OA = г. Пусть OS— на-S правление луча, рассеянного одним электроном, который мы мысленно поместим (для простоты расчета) в центів ре атома О. Амплитуда этого рассеянного излучения в некоторой, достаточ-Рис. 1.17. но удаленной (по сравнению с разме-
рами атома) точке в заданный момент времени t равна A(t). Считая рассеяние когерентным и учитывая, что его амплитуда пропорциональна числу рассеивающих электронов, получим для амплитуды луча AR в той же точке наблюдения и в тот же момент времени t выражение dAp(t) = = A(t)pdxe№. Здесь pdx—число электронов рассеивающего объема dx и Ф—разность фаз лучей IAR и KOS. Очевидно, что 2л
разность фаз <D = -yd, где d — геометрическая разность хода рассматриваемых лучей. Из рис. 1.15 видно, что вычисляемая разность хода лучей IAR и KOS, рассеянных атомами О и А, при определении условий интерференции Лауэ, севершенно тождественна с разностью хода лучей, рассеянных центром атома и элементом его объема dt. Поэтому d = r(n'—п), где nun' — единичные векторы в направлении падающего и рассеянного пучков. Без ограничения общности можно считать, что г, п' и п лежат в одной плоскости (чертежа). Построим ось параллельно вектору s = n'—п и плоскость POQ перпендикулярно оси 2 (см. рис. 1.17). Если рассматриваемый нами атом принадлежит кристаллу и направления падающего и рассеянного пучков соответствуют интерференционному максимуму, то POQ есть атомная сетчатая плоскость, от которой происходит зеркальное вульф-брэгговское отражение. В этом случае угол <? РОК = <? QOS = 0 удовлетворяет уравнению Вульфа — Брэгга (4.6). Из рис. 1.17 5 4] ФОРМУЛЫ ЛАУЭ И В УЛЬФА — БРЭГГА 27
видно, что S = 2 sin в(п = п' = 1), поэтому Ф = ^ (rS) = T srcos^ =
