Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
браны так, что любая трансляция решетки может быть
представлена как с целочисленными значе-
i
ни ями nh то элементарная ячейка, построенная на ah называется примитивной. Элементарные ячейки / и // на рис. 1.2, а примитивные, а ячейка 111 не примитивная. В самом деле, в последнем случае смещение вдоль оси X на одну (две) минимальные трансляции равно п1а1-\-пга2 с I1 = п2 = 1/3 = ( = г/3). Если примитивная ячейка содержит один атом, то решетка называется простой, если больше одного атома, то — сложной-, это определение распространяется и на трехмерную решетку.
Таким образом, решетка на рис. 1.2, а простая.
На рис. 1.2,6 изображена другая простая решетка, которая получается из решетки, приведенной на рис. 1.2, а, если на пересечении диагоналей параллелограммов поместить атомы того же сорта. Примитивная ячейка может быть теперь выбрана так, как это показано на рис. 1.2, б. Если мы сдвинем одинаковым образом все атомы, находящиеся на пересечениях диагоналей (см. рис. 1.2, в), то получим уже сложную решетку с двумя атомами иа примитивную ячейку, которую мы можем выбрать так, как это показано на рисунке. Эту сложную решетку мы можем себе представить как две одинаковые простые решетки, вдвинутые одна в другую. Если мы на пересечениях диагоналей параллелограммов (рис. 1.2, б) поместим атомы другого сорта, то мы получим сложную решетку, так как узлы
Рис. 1.3.
На рис. 1.3, а изображена весьма симметричная плоская решетка, атомы которой помещены в вершинах шестиугольников, заполняющих плоскость. Нетрудно убедиться в том, что эта решетка сложная, так как примитивная ячейка, изображаемая на рисунке векторами ах и а2, содержит два атома. Если же дополнительно в центре каждого шестиугольника поместить такой же атом, то мы придем к простой решетке (1.3, б). 2 ГЕОМЕТРИЯ РЕШЕТОК И ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ (rjj. I
3. В случае трехмерной кристаллической решетки в ее основе лежит элементарная ячейка в форме параллелепипеда, построенного на основных векторах alt аг и а3 (рис. 1.4; через а12 обозначен угол между Ci1 и а., и т. д.).
Основные векторы решетки могут быть выбраны бесконечным числом способов. Пусть новые («штрихованные») основные
векторы
0-2)
к
где ?;ft — целые числа. Для того чтобы вектор решетки
a = H1Ci1jT пгаг + п3ан, (1-3)
где п1,п2,пя — целые числа, выражался через a'i формулой, аналогичной (1.3), а, необходимо и достаточно, чтобы опре-Рис. 1.4. делитель
l?/tl = ±l. (1-4)
В самом деле, из (1.2) следует, что
afc=2?«la,:, 0-5)
І
где коэффициенты обратного преобразования1)
=Tff- M
Здесь A (?,-ft) — алгебраическое дополнение (г, k)-vo члена определителя I P / a I-
Подставляя (1.5) и (1.6) в (1.3), получим
к к, і
Для того чтобы обеспечить целочисленность коэффициентов при а'і для любых nk, необходимо потребовать выполнение условия (1.4).
4. Мы уже указывали на то, что если примитивная ячейка содержит один атом, то решетка называется простой. Сложные решетки, когда на примитивную ячейку приходится два или более атомов, реализуются как в решетках с одним сортом атомов, так и при наличии нескольких сортов атомов. Рассмотрим несколько основных простых решеток.
На рис. 1.5 изображены три кубические решетки, для которых основные векторы alt а2 и а3 взаимно перпендикулярны
]) Смирнов В. И. Курс высшей математики, —10 изд.—M.: Наука, 1974, т. 3, ч. 1, гл. II. §1]
ПРОСТЫЕ И СЛОЖНЫЕ КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ
13
(aia = а28 = а13 = 90°) и имеют одинаковую длину O1 = A2 = O3 = C. Про такие решетки говорят, что они принадлежат к кубической системе. Решетка на рис. 1.5, а называется простой кубической. Элементарные ячейки на рис. 1.5, б, в называются объемноцент-рированным кубом и гранецентрированным кубом. В первом случае дополнительный атом помещен в центре куба, во втором случае — в центрах шести боковых граней куба.
( /
а2 }
Ol а)
<1
і iQ
ak Iiit-Pi^
O1
г)
Рис. 1.5.
Подсчитаем число атомов в элементарных ячейках кубических решеток. Для этого учтем, что в вершине куба соприкасаются восемь элементарных ячеек (кубов), поэтому на одну ячейку приходится V8 атома; атом, расположенный на боковой грани ячейки, вносит в нее 'Vs атома (попутно заметим, что атом, который был бы расположен на ребре ячейки, вносил бы в нее V4 атома). Мы видим, что в случае простого куба элементарная ячейка содержит V8x8=l атом; в случае объемно-центрированнОго куба — V8x8+ 1 = 2 атома; в случае гранецент-рированного куба—-V8x8 + V2x6 = 4 атома. Однако объемно-центрированная и гранецентрированная решетки являются простыми, так как их примитивные ячейки содержат по одному атому. В случае куба с центрированными гранями (когда на всю кубическую ячейку Приходится 4 атома) основные векторы примитивной ячейки могут быть направлены из вершины куба к центрам прилегающих граней, как это изображено на рис. 1.6, а. В этом случае в примитивной ячейке (а12 — а23 = а13 = 60°) содержится один атом. В объемноцентрированной кубической решетке основные векторы примитивной ячейки можно направить из вершины куба к центрам соседних кубов, как это изображено на рис. 1.6, б.
