Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
На рис. 1.5, г изображена так называемая гексагональная ячейка в виде правильной шестигранной іризмьі, боковые ребра которой перпендикулярны к основанию правильного шестиугольника. В простой решетке одинаковые атомы расположены в вершинах призмы и в центра* "оснований. В гексагональной 14 ГЕОМЕТРИЯ РЕШЕТОК И ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ (rjj. I
решетке можно направить основные векторы примитивной ячейки по трем ребрам шестигранной призмы, сходящимся в одной вершине.
Разделение решеток на простые и сложные представляется существенным при изучении колебаний атомов в кристаллах, так как только сложные решетки обладают оптическими ветвями колебаний.
В общем случае элементарная ячейка, имеющая форму параллелепипеда, не обладает симметрией кристаллической решетки. Так, например, на рис. 1.3, б повороты плоской
Рис. 1.6.
решетки вокруг любого атома на угол в 60° приводят решетку к самосовпадению, в то время как примитивная ячейка, заштрихованная на рис. 1.3, б, такой симметрией не обладает. Очевидно, что примитивная ячейка гранецентрированного куба, изображенная на рис. 1.6, а, не обладает симметрией куба.
Вигнер и Зейтц показали, как выбрать примитивную ячейку так, чтобы она обладала симметрией кристаллической решетки. Возьмем некоторый атом решетки О и проведем из него отрезки к ближайшим атомам; построим через середины этих отрезков плоскости, перпендикулярные к ним. Пересечения этих плоскостей определят некоторый минимальный многогранник, содержащий внутри узел О; этот многогранник называется ячейкой Вигнера—Зейтца. Очевидно, такими ячейками можно плотно заполнить все пространство кристалла х).
Если провести эту процедуру для плоской решетки на рис. 1.3,6, то ячейка Вигнера — Зейтца будет иметь форму правильного шестиугольника, обладающего симметрией гексагональной решетки.
Ячейка Вигнера — Зейтца для простой кубической решетки имеет форму куба. Как будет выглядеть ячейка Вигнера — Зейтца
х) Сложная решетка состоит из ряда одинаковых простых решеток, вдвинутых друг в друга; в этом случае указанное построение выполняется для одной из простых подрешеток. s 2] ПРИМЕРЫ КОНКРЕТНЫХ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР 15
для объемноцентрированной кубической решетки? Выберем в качестве узла О атом в центре куба. Восемь перпендикулярных плоскостей, проведенных через середины отрезков, соединяющих О с атомами в восьми вершинах куба, образуют правильный восьмигранник (октаэдр). Шесть перпендикулярных плоскостей, проведенных через середины отрезков, соединяющих О (^центральными атомами соседних кубов, отсекут шесть вершин октаэдра образуя четырнадцатигранник, изображенный на рис. IV.5, а. Восемь граней его — правильные шестиугольники, а шесть граней—квадраты. Четырнадцатигранная ячейка Вигнера—Зейтца обладает симметрией куба. Аналогично могут быть построены ячейки Вигнера — Зейтца для других кристаллических решеток.
§ 2. Примеры конкретных кристаллических структур
1. Рассмотрим некоторые конкретные кристаллические структуры, иллюстрирующие положения предыдущего параграфа и существенные для дальнейшего изучения теории.
Рентгеноструктурный анализ показывает, что большинство кристаллов чистых металлов принадлежит к кубической или гексагональной системам (рис. 1.5,0)1). Одновалентные щелочные металлы Li, Na, К, Rb и Cs, двухвалентный Ba, переходные металлы, a-, ?- и б-модификации железа и ряд других элементов кристаллизуются в гвиде объемноцентрированного куба (рис. 1.5, б). Металлы Cu, Ag, Au, Al, Pb, ^-модификация железа, Ni, Ir, Pt и другие кристаллизуются в форме гранецент-рированного куба (рис. 1.5, б). Элементы Be, Mg, Zn, Cd и другие имеют элементарную ячейку гексагональной структуры (рис. 1.5, г). Посредством рентгеноструктурного анализа было показано, что в последнем случае мы имеем дело с так называемой плотной гексагональной упаковкой. В этом случае шестигранная призма содержит дополнительно в объеме три атома, как это показано на рис. 1.7. При плотной гексагональной упаковке решетка не является простой и содержит два атома в примитивной ячейке.
2. Рассмотрим вопрос о числе ближайших атомов, окружающих данный атом в кристалле и находящихся от него на одном и том же расстоянии d. Это число, называемое координационным числом, обозначим буквой z. В любой простой решетке число г одинаково для всех ее узлов. В простой кубической решетке г = 6 и расстояние d атомов координационной группы до узла равно длине ребра куба а. В объемноцентрированной кубической
1J Точное определение кристаллической системы или сингонии будет дано в гл. II, § 4. 16 ГЕОМЕТРИЯ РЕШЕТОК И ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ (rjj. I
vT
решетке 2 = 8 и d~~~a; в гранецентрированной кубической
Ґ2
решетке 2=12 и d = -^Y~a. В самом деле, для гранецентрированной кубической решетки ближайшими по отношению к вершине куба будут атомы, расположенные в центрах приле-
V2
гающих граней и отстоящие от вершины на расстоянии
Очевидно, что в трехмерной решетке в вершине каждого куба сходятся двенадцать таких граней (г= 12).
