Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Мы можем выделить в алмазной решетке группу из 18 атомов, образующих кубическую ячейку, изображен- Рис- I-13-ную на рис. 1.13. Расположение атомов в этой группе можно представить себе следующим образом. Разобьем куб с центрированными гранями на восемь одинаковых кубов (/—VIII) (рис. 1.12). Поместим в центры четырех из этих кубов, как это показано на рисунке, атомы (черные кружки). Мы получим решетку типа алмаза, изображенную на рис. 1.13. Подсчитаем число атомов в такой кубической ячейке. Из рис. 1.12 видно, что 8 атомов расположены в вершинах куба, 6 атомов — на его гранях и 4 атома — в его объеме. Отсюда следует, что число атомов во всей кубической ячейке равно
8.1 + 6-1 + 4 = 8.
Не следует думать, что кубическая ячейка (рис. 1.12 и 1.13), выделенная нами в решетке алмаза, обладает всеми элементами симметрии куба. Так, например, при повороте вокруг вертикальной оси, проходящей через центр куба, на угол 90°, атомы не совмещаются сами с собой. Можно, однако, показать, что по своим макроскопическим свойствам кристалл алмаза обладает кубической симметрией. 20 ГЕОМЕТРИЯ РЕШЕТОК И ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ (rjj. I
§ 3. Прямая и обратная решетки кристалла
1. Главнейшим свойством идеального кристалла, как уже упоминалось выше, является периодическое расположение атомов (точнее атомных ядер) в пространстве. Это означает, что при смещении всего кристалла в целом на вектор
а^а„ = пїа1 + п2а2 + п3а3, (3.1)
где а,- — трансляционные векторы решетки, а /г,- — целые числа (г = 1, 2, 3), кристалл совмещается сам с собой.
Очевидно, что такие величины, как электростатический потенциал или плотность электронов, рассматриваемые в некоторой точке внутри кристалла, являются пространственно- или трехмерно-периодическими функциями. В самом деле, некоторая точка внутри кристалла, определяемая радиусом-вектором г, и точка г~\-ап физически эквивалентны. Поэтому, например, электростатический потенциал
V (г) = V (г + ап). (3.2)
Для разложения периодической функции V (г) в ряд Фурье введем координаты ^1, ?2 и косоугольной системы координат, оси которой направлены по векторам ах, аа и а3.
В этом случае функция V {г) периодична в переменных I1, I2 и I3 с периодами аи а2 и а3. Разложим периодичес-кую функцию V (г) в тройной ряд Фурье1), который мы запишем в комплексной форме:
V(г)= 2 2 2 IW2w^+-=T+-S-;, (3.3)
A1=-OD - ® Aa= — ЭЭ
где klt k2 и k3 — целые положительные и отрицательные числа, включая нуль.
Переходя в (3.3) от косоугольных координат к прямоугольным координатам Xi (см. приложение 1) по формулам
Il = aIl-^l ~Ь ^13-^3 і
^2 = Vl+ «22*2 + «23*3, (3.4)
где a!k — коэффициенты, зависящие от углов между осями косоугольной и прямоугольной координатных систем, получим
V И = 2 2 S vW*' (3.5)
І>1 b, b,
1J Смирнов В. И. Курс высшей математики,—21 изд. —M.: Наука, 1974, т. 2, пп. 174, 175; следует иметь в виду, что в книге В. И. Смирнова период обозначается через 21, поэтому в показателе экспоненты отсутствует множитель 2. Прямая й оёратная решетки Кристалла
21
Здесь blt b2 и b3— коэффициенты, зависящие от aik, kit CLi. Суммирование в (3.5) надо вести по всем различным значениям величин bh соответствующих всем целочисленным значениям индексов Ui. Рассматривая b1, Ь2 и Ь3 как прямоугольные компоненты вектора Ь, запишем (3.5) в видэ
V (г) = ^jVbei ^brK (3.6)
ь
Проще всего определить b из требования периодичности V (г) (3.2):
V (г+ ап) = ^iVbei r+a") = 2 Vte1 ф"п)' ь ь
Отсюда следует, что е'<&ал> должно равняться единице, т. е. (.ba„) = M1 (Jba1) + п2 (ba2) + п3 (Jbab) = 2я х целое число для всех целочисленных значений H1, п2 и пй, что возможно только в том случае, когда
ba1 = 2nglt ba2 = 2ng2, ba3-=2ng3, (3.7)
гДе ёк Si и ёз — произвольные целые положительные или отрицательные числа (включая нуль). Всякий вектор определяется тремя своими составляющими (компонентами), поэтому трех независимых уравнений (3.7) достаточно для определения вектора Ь. Можно показать (Приложение 2), что
bg ^b = g1b1 + g2b2 + g3b3,
где
и _2я IaltQ3] и _2я [а3, Qi] и _2л[а1,а2]
--Q0-' ?^ ' --о;-> ^3-8)
a ?2,, = (^(^2,03]) — объем элементарной ячейки.
Легко проверить, что ban = bgan=2л х целое число=2зт (^g1+ + Непосредственно из определения (3.8) векторов
Ьк следует, что
Наоборот, исходя из уравнений (3.9), можно показать, что векторы Ьк определяются выражениями (3.8). Векторы Ьк называются трансляционными, масштабными или основными векторами обратной решетки. Векторы а„ и bg называются векторами прямой и обратной решеток. Векторы Ьк имеют размерность, обратную длине, как это следует из (3.8). Бесконечная периодическая решетка, построенная на трансляционных векторах Ьк, называется обратной решеткой. Пространство обратной решетки имеет размерность (длина)-3. Параллелепипед, построенный на векторах Ьк, называется элементарной ячейкой обратной 22 ГЕОМЕТРИЯ РЕШЕТОК И ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ (rjj. I
решетки. Можно показать1), что его «объем» равен (^1 [O,, 63]) = = (2л)3/й0.
